Quesito numero 6 dell’esame di stato di liceo scientifico del corso sperimentale del P.N.I del 2008

Preparazione alla maturità

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Quesito 6 . I lati di un parallelepipedo rettangolo misurano 8,9 ,e 12 centimetri. Si calcoli, in gradi e primi sessagesimali, l’ampiezza dell’angolo che la diagonale mandata da un vertice fa con ciascuno dei tre spigoli concorrenti al vertice.

 

Svolgimento. Consideriamo la figura.

 

pni2008q6-eps-converted-to

 

La diagonale del parallelepipedo misura

    \[d=\sqrt{64+81+144}=\sqrt{289}=17,\]

mentre i tre lati in verde misurano rispettivamente

    \[a=\sqrt{64+91}=\sqrt{145},\quad b=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15,\]

    \[c=\sqrt{64+144}=\sqrt{208}=4\sqrt{13}.\]

Osserviamo che in ciascuno dei tre triangoli rettangoli di cui l’ipotenusa è la diagonale mentre i cateti sono rispettivamente un lato e uno dei segmenti a,b,c, il rapporto tra uno dei segmenti a,b,c e la diagonale danno il valore del seno dell’angolo che la diagonale stessa forma con gli spigoli. Quindi

    \[\sin\alpha=\frac{\sqrt{145}}{17},\quad\sin\beta=\frac{15}{17},\quad\sin\gamma=\frac{4\sqrt{13}}{17},\]

per cui

    \[\alpha=\arcsin\frac{\sqrt{145}}{17}\approx 45^\circ\ 6',\]

    \[\beta=\arcsin\frac{15}{17}\approx 55^\circ\ 56',\]

    \[\alpha=\arcsin\frac{4\sqrt{13}}{17}\approx 45^\circ\ 2'.\]