Quesito numero 6 dell’esame di stato di liceo scientifico del corso sperimentale del P.N.I del 2007

Preparazione alla maturità

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Quesito 6. Si scelga a caso un punto P all’interno di un triangolo equilatero il cui lato ha lunghezza 3. Si determini la probabilità che la distanza di P da ogni vertice sia maggiore di 1.

 

Svolgimento. Consideriamo la seguente figura.

 

pni2007q6-eps-converted-to

 

 

I punti P devono cadere all’interno del triangolo ma all’esterno degli spicchi delle tre circonferenze. Poiché l’area del triangolo è

    \[A_T=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4},\]

mentre la somma delle aree dei tre settori circolari è

    \[3A_C=3\cdot\frac{\alpha 1^2}{2}=\frac{\pi}{2},\]

essendo \alpha=\pi/3, ne segue che la probabilità di far cadere P nella superficie voluta è data dal numero di casi favorevoli (superficie esterna ai settori circolari ma interna al triangolo A_T - 3A_C) sul numero di casi possibili (intera area del triangolo A_T):

    \[P=  \frac{A_T - 3A_C}{A_T} = 1-\frac{3A_C}{A_T}=1-\frac{2\pi}{9\sqrt{3}}\approx 0.6.\]