Quesito 6. Se 
, 
, 
con 
sono in progressione aritmetica, quale è il valore di 
?
Svolgimento. Indicata con 
la ragione della progressione e con 
, possiamo scrivere
![\[c_1+d=c_2,\qquad c_2+d=c_3,\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f850f550269503eb3dc0b584154dbc19_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e quindi
![\[2c_2=c_1+c_3,\qquad 2d=c_3-c_1.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e9be582a0df4e5f7e53b53d298e2d8ec_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dalla prima ricaviamo
![\[2\cdot\frac{n!}{2(n-2)!}=\frac{n!}{(n-1)!}+\frac{n!}{6(n-3)!},\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-66422f0ade2667429dca3662eaf9ed3e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
o anche
![\[n(n-1)=n+\frac{n(n-1)(n-2)}{6},\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c21db6c25abaf1d608a9ca8512dc5810_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
che diventa
![\[6(n-1)=6+(n-1)(n-2)\quad \Rightarrow\quad n^2-9n+14=0.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-01062cef560d8a87a7ebe7aede0db028_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Tale equazione ha come soluzioni 
e 
, ma solo il secondo \`{e} accettabile. Quindi . Inoltre si verifica che
![\[d=\frac{1}{2}(35-7)=14,\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0bb1fd5a5330638df0cfe5e2e2a25f13_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
è la ragione della progressione.