Quesito numero 6 dell’esame di stato di liceo scientifico del corso ordinario del 2007

Preparazione alla maturità

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Quesito 6. Se \left(\begin{array}{cc} n\\ 1\end{array}\right), \left(\begin{array}{cc} n\\ 2\end{array}\right), \left(\begin{array}{cc} n\\ 3\end{array}\right) con n>3 sono in progressione aritmetica, quale è il valore di n?

 

Svolgimento. Indicata con d la ragione della progressione e con c_i=\left(\begin{array}{cc} n\\ i\end{array}\right), possiamo scrivere

    \[c_1+d=c_2,\qquad c_2+d=c_3,\]

e quindi

    \[2c_2=c_1+c_3,\qquad 2d=c_3-c_1.\]

Dalla prima ricaviamo

    \[2\cdot\frac{n!}{2(n-2)!}=\frac{n!}{(n-1)!}+\frac{n!}{6(n-3)!},\]

o anche

    \[n(n-1)=n+\frac{n(n-1)(n-2)}{6},\]

che diventa

    \[6(n-1)=6+(n-1)(n-2)\quad \Rightarrow\quad  n^2-9n+14=0.\]

Tale equazione ha come soluzioni n=2 e n=7, ma solo il secondo \`{e} accettabile. Quindi n=7. Inoltre si verifica che

    \[d=\frac{1}{2}(35-7)=14,\]

è la ragione della progressione.