Quesito numero 6 dell’esame di stato di liceo scientifico del corso ordinario del 2007

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Quesito 6. Se $\left(\begin{array}{cc} n\\ 1\end{array}\right)$ , $\left(\begin{array}{cc} n\\ 2\end{array}\right)$ , $\left(\begin{array}{cc} n\\ 3\end{array}\right)$ con $n>3$ sono in progressione aritmetica, quale è il valore di $n$ ?

Svolgimento. Indicata con $d$ la ragione della progressione e con $c_i=\left(\begin{array}{cc} n\\ i\end{array}\right)$ , possiamo scrivere

$c_1+d=c_2,\qquad c_2+d=c_3,$

e quindi

$2c_2=c_1+c_3,\qquad 2d=c_3-c_1.$

Dalla prima ricaviamo

$2\cdot\frac{n!}{2(n-2)!}=\frac{n!}{(n-1)!}+\frac{n!}{6(n-3)!},$

o anche

$n(n-1)=n+\frac{n(n-1)(n-2)}{6},$

che diventa

$6(n-1)=6+(n-1)(n-2)\quad \Rightarrow\quad n^2-9n+14=0.$

Tale equazione ha come soluzioni $n=2$ e $n=7$ , ma solo il secondo \`{e} accettabile. Quindi $n=7$ . Inoltre si verifica che

$d=\frac{1}{2}(35-7)=14,$

è la ragione della progressione.

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