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Quesito numero 5 dell’esame di stato di liceo scientifico del corso sperimentale del P.N.I del 2008

Preparazione alla maturità

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Quesito 5 . Nel piano riferito a coordinate cartesiane (x,y) si dica qual’\`{e} l’insieme dei punti per i quali y^2-x^3>0.

 

Svolgimento. Osserviamo innanzitutto che y^2>x^3 per ogni valore di x<0. Possiamo riscrivere la disequazione nella forma

    \[(y-x^{3/2})(y+x^{3/2})>0,\]

che equivale ai due sistemi

    \[\left\{\begin{array}{l} y-x^{3/2}>0 \\ y+x^{3/2}>0 \end{array}\right.\qquad \left\{\begin{array}{l} y-x^{3/2}<0 \\ y+x^{3/2}<0 \end{array}\right.,\]

o equivalentemente

    \[\left\{\begin{array}{l} y>x^{3/2} \\ y>-x^{3/2} \end{array}\right.\qquad \left\{\begin{array}{l} y<x^{3/2} \\ y<-x^{3/2} \end{array}\right..\]

Il primo sistema equivale alla sola disequazione y-x^{3/2}>0, mentre il secondo alla disequazione y+x^{3/2}<0, le cui soluzioni sono date nei grafici seguenti.

 

pni2008q5p1-eps-converted-to

 

pni2008q5p2-eps-converted-to

 

La soluzione del problema è allora ottenuta unendo le due soluzioni precedenti alla considerazione iniziale, come si vede in figura:

 

pni2008q5-eps-converted-to