Quesito numero 5 dell’esame di stato di liceo scientifico del corso ordinario del 2007

Preparazione alla maturità

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Quesito 5. Si determini il polinomio P(x) di terzo grado tale che

    \[P(0)=P'(0)=0,\quad P(1)=0,\quad \int_0^1 P(x)\ dx=\frac{1}{12}.\]


 

Svolgimento. Sia P(x)=ax^3+bx^2+cx+d il polinomio da determinare. Poich\'{e}

    \[P'(x)=3ax^2+2bx+c,\]

dalle prime tre condizioni si ha

    \[0=d,\quad 0=c,\quad 0=a+b,\]

e quindi P(x)=a(x^3-x^2). L’ultima condizione implica che

    \[\frac{1}{12}=\int_0^1 a(x^3-x^2)\ dx=a\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=a\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\right)=-\frac{a}{12},\]

e quindi a=-1. Ne segue che

    \[P(x)=-x^3+x^2.\]