Quesito numero 4 dell’esame di stato di liceo scientifico del corso sperimentale del P.N.I del 2008

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Quesito 4 . Si esponga la regola del marchese di de l’Hôpital (1661-1704) e la si applichi per dimostrare che è

$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{2008}}{2^x}=0.$

Svolgimento. Di seguito la regola di de l’Hôpital.

Nel caso in cui le proprietà precedenti valgano per ogni derivata di ordine $k$ per $0< k\leq N$ , allora possiamo affermare che

$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f^{(k)}(x)}{g^{(k)}(x)},\qquad 0<k\leq N.$

Nel nostro caso

$f(x)=x^{2008},\qquad g(x)=2^x,$

entrambe le funzioni tendono a $+\infty$ per $x\rightarrow+\infty$ e sono derivabili infinite volte. Poichè

$f^{(k)}(x)=\frac{n!}{(n-k)!} x^{n-k}\implica f^{(n)}(x)=n!,$

$g^{(k)}(x)=2^x\cdot\ln^k 2\implica g^{(n)}(x)=2^x\cdot\ln^n 2,$

segue

$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{2008}}{2^x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2008!}{2^x\cdot\ln^{2008} 2}=0.$

Suggerimenti, refusi ed errori