Quesito numero 4 dell’esame di stato di liceo scientifico del corso sperimentale del P.N.I del 2007

Preparazione alla maturità

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Quesito 4 .Si consideri la funzione

    \[f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\cdot e^{\displaystyle-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}.\]


Se ne spieghi l’importanza nelle applicazioni della matematica illustrando il significato di \mu,\sigma,\sigma^2 e come tali parametri influenzino il grafico di \gamma.

 

Svolgimento. La funzione f rappresenta la distribuzione normale di Gauss. Il suo grafico, per \sigma=1,\mu=0 è riportato di seguito:

 

pni2007q4-eps-converted-to

 

 

La sua importanza risiede nel calcolo della probabilità e nella statistica: infatti essa rappresenta la distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria, una volta noti alcuni valori legati allo studio statistico della variabile in esame. Nella funzione appaiono:

\bullet\mu: il valore atteso o media aritmetica della variabile casuale in questione;
\bullet \sigma^2: la varianza definita come la dispersione dei valori calcolati x_i dal valore medio \mu:

    \[\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n(x_j-\mu)^2;\]

\bullet \sigma: la deviazione standard della variabile casuale. Il valore x=\mu è quello per cui la funzione f(x) raggiunge il suo massimo f(\mu)=1/\sqrt{2\pi\sigma^2}. Differenti valori di \mu causano una traslazione (a destra per \mu>0, a sinistra per \mu<0) della funzione stessa. Valori diversi di \sigma, invece, producono un abbassamento (per \sigma>1) o un innalzamento (per 0<\sigma<1) della curva stessa con relativo schiacciamento o assottigliamento del profilo. Infine, il valore 1/\sqrt{2\pi\sigma^2} è un fattore normalizzante tale che

    \[\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ dx=1.\]