Quesito numero 3 dell’esame di stato di liceo scientifico del corso sperimentale del P.N.I del 2008

Preparazione alla maturità

Home » Quesito numero 3 dell’esame di stato di liceo scientifico del corso sperimentale del P.N.I del 2008

More results...

Generic selectors
Exact matches only
Search in title
Search in content
Post Type Selectors
post
page

 

Quesito 3 . Un solido ha per base un cerchio di raggio 1. Ogni sezione del solido ottenuta con un piano perpendicolare ad un prefissato diametro è un triangolo equilatero. Si calcoli il volume del solido.

 

Svolgimento. Consideriamo il cerchio di equazione x^2+y^2=1 e sia il diametro giacente sull’asse x quello fissato, come in figura alla pagina seguente. I punti di intersezione della corda perpendicolare a tale diametro, se essa ha equazione x=h, hanno coordinate

    \[A(k,\sqrt{1-k^2}),\qquad B(k,-\sqrt{1-k^2}),\]

e quindi

    \[AB=2\sqrt{1-k^2},\qquad h=\sqrt{3(1-k^2)},\]

dove h \`{e} l’altezza del triangolo equilatero costruito sulla corda AB. L’area del generico triangolo equilatero \`{e} pertanto

    \[A_T(k)=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot h=\sqrt{3}(1-k^2).\]

Poich\'{e} k varia nell’intervallo [-1,1], abbiamo che il volume del solido cercato \`{e} pari a

    \begin{align*} V=&\int_{-1}^1 A_T(k)\ dk=\int_{-1}^1 \sqrt{3}(1-k^2)\ dk=\sqrt{3}\left[k-\frac{k^3}{3}\right]_{-1}^1\\ =&\sqrt{3}\left(1-\frac{1}{3}+1-\frac{1}{3}\right)=\frac{4\sqrt{3}}{3}. \end{align*}