Quesito 3 . Un solido ha per base un cerchio di raggio 
. Ogni sezione del solido ottenuta con un piano perpendicolare ad un prefissato diametro è un triangolo equilatero. Si calcoli il volume del solido.
Svolgimento. Consideriamo il cerchio di equazione 
e sia il diametro giacente sull’asse 
quello fissato, come in figura alla pagina seguente. I punti di intersezione della corda perpendicolare a tale diametro, se essa ha equazione 
, hanno coordinate
![\[A(k,\sqrt{1-k^2}),\qquad B(k,-\sqrt{1-k^2}),\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4997c09373f7bd7bd65eaa7649cb4052_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e quindi
![\[AB=2\sqrt{1-k^2},\qquad h=\sqrt{3(1-k^2)},\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6b462d39fc1b2e4f4679d3a052235e1b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
dove 
\`{e} l’altezza del triangolo equilatero costruito sulla corda 
. L’area del generico triangolo equilatero \`{e} pertanto
![\[A_T(k)=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot h=\sqrt{3}(1-k^2).\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8d9e4adcd9a79229d489345eb6e06b21_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Poich\'{e} 
varia nell’intervallo ![[-1,1]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-35a2f14904b1a3453db3ce57532154de_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
, abbiamo che il volume del solido cercato \`{e} pari a
![\begin{align*} V=&\int_{-1}^1 A_T(k)\ dk=\int_{-1}^1 \sqrt{3}(1-k^2)\ dk=\sqrt{3}\left[k-\frac{k^3}{3}\right]_{-1}^1\\ =&\sqrt{3}\left(1-\frac{1}{3}+1-\frac{1}{3}\right)=\frac{4\sqrt{3}}{3}. \end{align*}](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b484f6af93f85600f29581d68509493a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")