Quesito 3 . Si dimostri che l’insieme delle omotetie con centro fissato è un gruppo.
Svolgimento. Le omotetie con centro fissato sono le trasformazioni che dilatano (o contraggono) le distanze della figura a cui vengono applicate, e vengono anche dette similitudini. Se indichiamo con l’origine degli assi cartesiani, l’equazione di una generica omotetie con centro
è
con . Facciamo vedere che valgono le proprietà di gruppo.
Associatività: se
,
,
sono tre omotetie, allora
Elemento neutro: se
allora
e quindi l’applicazione identica;
Esistenza dell’inverso: poiché
, segue che
per cui è l’inverso di
;
Commutatività: poichè
segue che
e quindi vale la proprietà commutativa.
In definitiva l’insieme delle omotetie è un gruppo abeliano rispetto alla combinazione di funzioni con elemento neutro ed inverso
per ogni elemento
.