Quesito numero 3 dell’esame di stato di liceo scientifico del corso sperimentale del P.N.I del 2007

Preparazione alla maturità

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Quesito 3 . Si dimostri che l’insieme delle omotetie con centro O fissato è un gruppo.

 

Svolgimento. Le omotetie con centro fissato sono le trasformazioni che dilatano (o contraggono) le distanze della figura a cui vengono applicate, e vengono anche dette similitudini. Se indichiamo con O(0,0) l’origine degli assi cartesiani, l’equazione di una generica omotetie con centro O è

    \[o_k(x,y)=\left\{\begin{array}{l} x'=k x\\ y'=k y \end{array}\right.=(kx,ky),\]

con k>0. Facciamo vedere che valgono le proprietà di gruppo.


\bullet Associatività: se o_k, o_h, o_j sono tre omotetie, allora

    \begin{align*} [o_k\circ(o_h\circ o_j)](x,y)=&o_k\circ(o_h(o_j(x,y)))=o_k\circ(o_h(jx,jy))\\ =&o_k(hjx,hjy)=(k(hjx),k(hjy))=(khjx,khjy)\\ =&((kh)jx,(kh)jy)=[(o_k\circ o_h)\circ o_j](x,y); \end{align*}

\bullet Elemento neutro: se k=1 allora

    \[o_1(x,y)=(x,y)=\mathrm{id}(x,y),\]

e quindi o_1=\mathrm{id} l’applicazione identica;
\bullet Esistenza dell’inverso: poiché kk^{-1}=1, segue che

    \[[o_k\circ o_{k^{-1}}](x,y)=(kk^{-1} x,kk^{-1} y)=(x,y)=\mathrm{id}(x,y),\]

per cui o_{k^{-1}} è l’inverso di o_{k};
\bullet Commutatività: poichè kh=hk segue che

    \[[o_k\circ o_h](x,y)=(khx,khy)=(hkx,hky)=[o_h\circ o_k](x,y),\]

e quindi vale la proprietà commutativa.
In definitiva l’insieme delle omotetie è un gruppo abeliano rispetto alla combinazione di funzioni con elemento neutro o_1 ed inverso o_{k^{-1}} per ogni elemento o_k.