Quesito numero 3 dell’esame di stato di liceo scientifico del corso ordinario del 2007

Preparazione alla maturità

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Quesito 3. Fra le casseruole, di forma cilindrica, aventi la stessa superficie S (quella laterale più il fondo) qual è quella di volume massimo?

 

Svolgimento. Indichiamo con r il raggio di base dei cilindri e con h la loro altezza. La superficie laterale vale allora

    \[S=\pi r^2+2\pi r h,\]

da cui si ricava

    \[h=\frac{S-\pi r^2}{2\pi r}.\]

Il volume di tale cilindro \`{e} dato allora da

    \[V(r)=\pi r^2\cdot h=\frac{r(S-\pi r^2)}{2}.\]

La derivata di questa funzione \`{e}

    \[V'(r)=\frac{1}{2}(S-3\pi r^2),\]

la quale si annulla in r=\sqrt{S/3\pi} dove ammette un massimo. Per tale valore si ha

    \[h=\frac{S-S/3}{2\pi\sqrt{S/3\pi}}=r,\]

e quindi il cilindro ha volume massimo (a parità di area) quando la sua altezza è pari al raggio di base.