Quesito numero 2 dell’esame di stato di liceo scientifico del corso sperimentale del P.N.I del 2008

Preparazione alla maturità

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Quesito 2 . Ricordando che il lato del decagono regolare inscritto in un cerchio è sezione aurea del raggio, si provi che

    \[\sin\frac{\pi}{10}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}.\]

 

Svolgimento. Indichiamo con \alpha=\pi/5 (l’angolo al centro di ogni spicchio del decagono) e sia \ell il lato del decagono stesso. Se consideriamo un cerchio di raggio 1, la propriet\`{a} scritta nell’enunciato si pu\`{o} esprimere come

    \[\frac{\ell}{1-\ell}=\frac{1}{\ell}\sesolose \ell^2+\ell-1=0,\]


e quindi

    \[\ell=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\implica \ell=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.\]


Possiamo inoltre calcolare la misura del quadrato di \ell con il teorema di Carnot, per cui

    \[\ell^2=1+1-2\cos\alpha=2(1-\cos\alpha),\]


e quindi dal teorema di bisezione per il seno

    \[\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}=\frac{\ell^2}{4},\]


e infine

    \[\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{\ell}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}.\]