Quesito numero 2 dell’esame di stato di liceo scientifico del corso sperimentale del P.N.I del 2007

Preparazione alla maturità

Home » Quesito numero 2 dell’esame di stato di liceo scientifico del corso sperimentale del P.N.I del 2007
Generic selectors
Exact matches only
Search in title
Search in content
Post Type Selectors
post
page

 

Quesito 2. La regione del piano racchiusa tra il grafico della funzione y=\ln x e l’asse delle x, con 1\leq x\leq e, è la base di un solido S le cui sezioni, ottenute tagliando S con piani perpendicolari all’asse x, sono tutte rettangoli aventi l’altezza tripla della base. Si calcoli il volume di S e se ne dia un valore approssimato a meno di 10^{-2}.

 

Svolgimento. Consideriamo la figura seguente.

pni2007q2-eps-converted-to

 

 

Sia x=k una generica retta perpendicolare all’asse delle x con 1\leq k\leq e. Essa incontra la curva nel punto (k,y(k))=(k,\ln(k)). Il valore y(k) rappresenta allora la base dei rettangoli sezione. Ne segue che l’altezza di tali rettangoli è 3y(k) e quindi l’area di questi misura

    \[A_{R}(k)=3[y(k)]^2=3\ln^2 k.\]

Il volume di S è allora

    \[V_S=\int_1^e A_R(k)\ dk=3\int_1^e \ln^2 k\ dk.\]

Posto \ln k=t, da cui k=e^t e dk=e^t\ dt, ed avendosi per k=1, t=0, k=e, t=1, abbiamo integrando per parti

    \begin{align*} V_S= &3\int_0^1 t^2 e^t\ dt=3\left\{\left[t^2 e^t\right]_0^1-\int_0^1 2t e^t\ dt\right\}\\ =&3\left\{e-2\left[t e^t\right]_0^1+2\int_0^1 e^t\ dt\right\}\\ =&3\left\{e-2e+2e-2\right\}=3(e-2)\approx 2,15 \end{align*}