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Quesito numero 2 dell’esame di stato di liceo scientifico del corso sperimentale del P.N.I del 2007

Preparazione alla maturità

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Quesito 2. La regione del piano racchiusa tra il grafico della funzione y=\ln x e l’asse delle x, con 1\leq x\leq e, è la base di un solido S le cui sezioni, ottenute tagliando S con piani perpendicolari all’asse x, sono tutte rettangoli aventi l’altezza tripla della base. Si calcoli il volume di S e se ne dia un valore approssimato a meno di 10^{-2}.

 

Svolgimento. Consideriamo la figura seguente.

 

 

Sia x=k una generica retta perpendicolare all’asse delle x con 1\leq k\leq e. Essa incontra la curva nel punto (k,y(k))=(k,\ln(k)). Il valore y(k) rappresenta allora la base dei rettangoli sezione. Ne segue che l’altezza di tali rettangoli è 3y(k) e quindi l’area di questi misura

    \[A_{R}(k)=3[y(k)]^2=3\ln^2 k.\]

Il volume di S è allora

    \[V_S=\int_1^e A_R(k)\ dk=3\int_1^e \ln^2 k\ dk.\]

Posto \ln k=t, da cui k=e^t e dk=e^t\ dt, ed avendosi per k=1, t=0, k=e, t=1, abbiamo integrando per parti

    \begin{align*} V_S= &3\int_0^1 t^2 e^t\ dt=3\left\{\left[t^2 e^t\right]_0^1-\int_0^1 2t e^t\ dt\right\}\\ =&3\left\{e-2\left[t e^t\right]_0^1+2\int_0^1 e^t\ dt\right\}\\ =&3\left\{e-2e+2e-2\right\}=3(e-2)\approx 2,15 \end{align*}