Quesito numero 2 dell’esame di stato di liceo scientifico del corso ordinario del 2007

Preparazione alla maturità

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Quesito 2. Ricordando che il lato del decagono regolare inscritto in un cerchio è sezione aurea del raggio, si provi che

    \[\sin\frac{\pi}{10}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}.\]


 

Svolgimento. Indichiamo con \alpha=\pi/5 (l’angolo al centro di ogni spicchio del decagono) e sia \ell il lato del decagono stesso. Se consideriamo un cerchio di raggio 1, la proprietà scritta nell’enunciato si può esprimere come

    \[\frac{\ell}{1-\ell}=\frac{1}{\ell}\quad \Leftrightarrow \quad \ell^2+\ell-1=0,\]

e quindi

    \[\ell=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\quad \Rightarrow \quad \ell=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.\]

Possiamo inoltre calcolare la misura del quadrato di \ell con il teorema di Carnot, per cui

    \[\ell^2=1+1-2\cos\alpha=2(1-\cos\alpha),\]

e quindi dal teorema di bisezione per il seno

    \[\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}=\frac{\ell^2}{4},\]

e infine

    \[\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{\ell}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}.\]