Quesito 2. Ricordando che il lato del decagono regolare inscritto in un cerchio è sezione aurea del raggio, si provi che
![\[\sin\frac{\pi}{10}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d2463c6516188b3627527facb826cab0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Svolgimento. Indichiamo con 
(l’angolo al centro di ogni spicchio del decagono) e sia 
il lato del decagono stesso. Se consideriamo un cerchio di raggio 
, la proprietà scritta nell’enunciato si può esprimere come
![\[\frac{\ell}{1-\ell}=\frac{1}{\ell}\quad \Leftrightarrow \quad \ell^2+\ell-1=0,\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-638c3b37ceb4bf9cbf4ddc0963d3ddea_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e quindi
![\[\ell=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\quad \Rightarrow \quad \ell=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-76a686f14515baf6953b04f67e2c01c6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Possiamo inoltre calcolare la misura del quadrato di con il teorema di Carnot, per cui
![\[\ell^2=1+1-2\cos\alpha=2(1-\cos\alpha),\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4f5c4412b9a3e3ef8d88d680e32c64c3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e quindi dal teorema di bisezione per il seno
![\[\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}=\frac{\ell^2}{4},\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-eb91ac85faae1193871363c093e5aea2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e infine
![\[\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{\ell}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-eeb9e93ada8f097f1cfaac745ff0cc6c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")