Quesito numero 10 dell’esame di stato di liceo scientifico del corso sperimentale del P.N.I del 2008

Preparazione alla maturità

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Quesito 10. Qual è l’equazione della curva simmetrica rispetto all’origine di y=e^{-2x} ? Quale quella della della curva simmetrica rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante?

 

Svolgimento.  Se P(x,y) è un punto della curva data il suo simmetrico rispetto all’origine ha coordinate P'(-x,-y) per cui l’equazione della curva simmetrica è

    \[-y=e^{-2(-x)}\quad \Rightarrow \quad y=-e^{2x}.\]

Per determinare la simmetrica rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante, possiamo osservare che tale funzione coincide con l’inversa della funzione data. Poichè

    \[y=e^{-2x}\quad \Rightarrow \quad \ln y=-2x\quad \Rightarrow \quad x=-\frac{1}{2}\ln y\quad \Rightarrow \quad x=\ln\frac{1}{\sqrt{y}},\]

e quindi la curva cercata è

    \[y=\ln\frac{1}{\sqrt{x}}.\]