Quesito numero 10 dell’esame di stato di liceo scientifico del corso sperimentale del P.N.I del 2008

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Quesito 10. Qual è l’equazione della curva simmetrica rispetto all’origine di $y=e^{-2x}$ ? Quale quella della della curva simmetrica rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante?

Svolgimento. Se $P(x,y)$ è un punto della curva data il suo simmetrico rispetto all’origine ha coordinate $P'(-x,-y)$ per cui l’equazione della curva simmetrica è

$-y=e^{-2(-x)}\quad \Rightarrow \quad y=-e^{2x}.$

Per determinare la simmetrica rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante, possiamo osservare che tale funzione coincide con l’inversa della funzione data. Poichè

$y=e^{-2x}\quad \Rightarrow \quad \ln y=-2x\quad \Rightarrow \quad x=-\frac{1}{2}\ln y\quad \Rightarrow \quad x=\ln\frac{1}{\sqrt{y}},$

e quindi la curva cercata è

$y=\ln\frac{1}{\sqrt{x}}.$

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