Quesito 1 .Siano Dati un cono equilatero e la sfera in esso inscritta. Si scelga a caso un punto all’interno del cono. Si determini la probabilità che tale punto risulti esterno alla sfera.
Svolgimento. Consideriamo la seguente figura che rappresenta la sezione di un cono equilatero.
Se indichiamo con 
il raggio di base del cono, allora i suoi apotemi (che sono i lati del triangolo equilatero in figura) misurano 
. Detto 
il raggio della circonferenza inscritta e 
l’altezza del cono, risulta
![\[V_{cono}=\frac{1}{3}\cdot\pi R^2\cdot \sqrt{3} R=\frac{\sqrt{3}}{3}\pi R^3,\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-003e78078ac7e8c54d1d610b951fd68b_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
e
![\[V_{sfera}=\frac{4}{3}\pi r^3.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-224fc66c17d224458a47afec24e231d3_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Osserviamo che il raggio della sfera è pari a
![\[r=R\cdot\tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3} R,\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e2717fb0d45963abab292d0ebbc8b35c_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
da cui
![\[V_{sfera}=\frac{4}{3}\pi\cdot\frac{\sqrt{3}}{9} R^3=\frac{4\sqrt{3}}{27}\pi R^3.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4ab0dba374f6e9d6328403f2631db26e_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
La probabilità che il punto cada dentro il cono ma al difuori della sfera si ottiene sottraendo ad 
(la probabilità che il punto si trovi nel cono) il rapporto tra i volumi di sfera e cono. Quindi
![\[P=1-\frac{V_{sfera}}{V_{cono}}=1-\frac{\frac{4\sqrt{3}}{27}\pi R^3}{\frac{\sqrt{3}}{3}\pi R^3}= 1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fd1087a33b8ecb0f68c1c08f7126d72b_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")