Quesito numero 1 dell’esame di stato di liceo scientifico del corso ordinario del 2007

Preparazione alla maturità

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Quesito 1. Si consideri la seguente proposizione: “Se due solidi hanno uguale volume, allora, tagliati da un fascio di piani paralleli, intercettano su di essi sezioni di uguale area”. Si dica se essa è vera o falsa e si motivi esaurientemente la risposta.

 

Svolgimento. Si osservi che la proposizione inversa alla precedente è nota come principio di cavalieri: essa afferma che se due solidi intercettano sezioni di area uguale su fasci di piani paralleli che li tagliano, allora hanno lo stesso volume. Il viceversa tutta via è falso: come esempio si può considerare un parallelepipedo rettangolo a base quadrata \ell ed altezza h. Le sezioni del solido parallele alla base quadrata hanno area \ell^2, mentre quelle perpendicolari ad essa hanno area \ell^2.

Ne segue che se si considerano i due parallelepipedi uno poggiato sull base quadrata, e uno piegato su di un lato, le sezioni che individuano sono di area diversa (a meno che h=\ell ma in quel caso si avrebbe un cubo).