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Maturità scientifica 2024: tracce e svolgimenti completi

Preparazione alla maturità

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Autori e revisori

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Autori: Daniele Bjørn Malesani.

Revisori: Sergio Fiorucci.


 
 

Problema 1. Si consideri f_{a,b}(x) = \dfrac{ax^3+b}{x^2}, con a, b \in \mathbb{R}.

  1. Determinare i valori dei parametri in modo che la retta t di equazione 7x+y-12 = 0 sia tangente al grafico di f_{a,b}(x) nel suo punto P di ascissa x = 1.

    2. Si ponga, d’ora in avanti, a = 1 e b = 4.

  2. Studiare la funzione f(x) = (x^3+4)/x^2 e tracciarne il grafico \gamma. Scrivere l’equazione dell’ulteriore retta tangente alla curva \gamma e passante per P.
  3. Al variare del parametro reale m, determinare il numero di intersezioni tra la retta di equazione y-5 = m(x-1) e la curva \gamma.
  4. Sia S(k), con k > 3/2, l’area della regione finita di piano compresa tra la curva \gamma, il suo asintoto obliquo, la retta t e la retta di equazione x = k. Calcolare \lim S(k) per k \to +\infty, fornendo un’interpretazione geometrica del risultato ottenuto.

Soluzione primo punto

Affinchè la retta t sia tangente al grafico di f_{a,b}, sono necessarie due condizioni:

  • la retta t e la funzione f_{a,b} passano entrambe per P;
  • la tangente al grafico di f_{a,b} in P ha lo stesso coefficiente angolare di t.

Dato che t passa per P, e P ha ascissa x_P = 1, l’ordinata di P è y_P = 12-7x_P = 12-7\cdot1 = 5. Inoltre, riscrivendo y = 12-7x, si vede che il coefficiente angolare della retta t è pari a -7. La derivata di f_{a,b} è infine data da:

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f_{a,b}(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(ax + \frac{b}{x^2}\right) = a - \frac{2b}{x^3}.\]

Imponendo le due condizioni indicate sopra:

\[\begin{cases} f_{a,b}(1) = 5; \\ f'_{a_b}(1) = -7; \end{cases} \implies \begin{cases} a+b = 5; \\ a-2b = -7; \end{cases} \implies \begin{cases} a = 1; \\ b = 4. \end{cases}\]

Questi sono tra l’altro i valori da assumere nel seguito dell’esercizio, che ci conferma che siamo sulla buona strada.


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