Esercizio di allenamento per la maturità numero 9

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Esercizio 9. Determinare le seguenti aree:

$(1)$ della parte finita di piano compresa tra le curve di equazioni $y=\cos x$ e $y=\sin x$ , l’asse delle ascisse e all’interno dell’intervallo $[0,\pi/2]$ ;

$(2)$ della parte finita di piano compresa tra la curva di equazione

$y=\frac{x^2-1}{x^2+1},$

e l’asse delle ascisse;

$(3)$ della parte finita di piano compresa tra le due curve di equazioni

$y=x^2,\qquad y=\frac{2}{x^2+1};$

$(4)$ della parte finita di piano compresa tra le due curve di equazioni $y=\sqrt{x}$ e $y=x^2$ .

Svolgimento. $(1)$ La situazione è illustrata in figura:

Il punto di intersezione tra le curve può essere determinato risolvendo l’equazione

$\sin x=\cos x\quad \Rightarrow \quad \tan x=1\quad \Rightarrow \quad x=\pi/4.$

Ne segue che

$\begin{aligned} A&=\int_0^{\pi/4}\sin x\ dx+\int_{\pi/4}^{\pi/2}\cos x\ dx= \left[-\cos x\right]_0^{\pi/4}+\left[\sin x\right]_{\pi/4}^{\pi/2}=\\ &=-\frac{\sqrt{2}}{2}+1+1-\frac{\sqrt{2}}{2}=2-\sqrt{2}. \end{aligned}$

Osserviamo la figura

La curva interseca l’asse delle ascisse nei punti $x=\pm 1$ . Inoltre essa risulta sempre negativa sull’intervallo $[-1,1]$ . Ne segue che

$\begin{aligned} A&=\int_{-1}^1 -\frac{x^2-1}{x^2+1}\ dx=\int_{-1}^1 \frac{1-x^2}{1+x^2}\ dx=\int_{-1}^1 \left(\frac{2}{1+x^2}-1\right)\ dx=\\ &=\left[2\arctan x-x\right]_{-1}^1=2\cdot\frac{\pi}{4}-1+2\cdot\frac{\pi}{4}-1=\pi-2. \end{aligned}$

$(3)$ Osserviamo la figura.

Le curve si intersecano nei punti soluzione del sistema

$\left\{\begin{array}{l} y=x^2\\ \\ \displaystyle y=\frac{2}{x^2+1} \end{array}\right.\quad \Rightarrow \quad x^4+x^2-2=0,$

da cui, posto $t=x^2$ , l’equazione $t^2+t-2=0$ le cui soluzioni sono $t=-2,\ t=1$ . La prima di queste \`{e} da scartare, mentre la seconda fornisce le soluzioni $x=\pm1$ . Abbiamo allora

$\begin{aligned} A&=\int_{-1}^{1}\left[\frac{2}{1+x^2}-x^2\right]\ dx= \left[2\arctan x-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1}=\\ &=2\cdot\frac{\pi}{4}-\frac{1}{3}+2\cdot\frac{\pi}{4}-\frac{1}{3}=\pi-\frac{2}{3}. \end{aligned}$

$(4)$ Si osservi la figura.

Il punto di intersezione si ricava dalla soluzione dell’equazione

$\sqrt{x}=x^2\quad \Rightarrow \quad x^4-x^2=0\quad \Rightarrow \quad x=0,\ x=\pm 1.$

Il punto $x=-1$ va scartato in quanto la funzione $\sqrt{x}$ non è definita in esso. Si ha quindi

$A=\int_0^1\left[\sqrt{x}-x^2\right]\ dx=\left[\frac{2}{3}\sqrt{x^3}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}.$

Fonte: ignota.