Esercizio di allenamento per la maturità numero 9

Preparazione alla maturità

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Esercizio 9. Determinare le seguenti aree:

(1) della parte finita di piano compresa tra le curve di equazioni y=\cos x e y=\sin x, l’asse delle ascisse e all’interno dell’intervallo [0,\pi/2];

(2) della parte finita di piano compresa tra la curva di equazione

    \[y=\frac{x^2-1}{x^2+1},\]

e l’asse delle ascisse;

(3) della parte finita di piano compresa tra le due curve di equazioni

    \[y=x^2,\qquad y=\frac{2}{x^2+1};\]

(4) della parte finita di piano compresa tra le due curve di equazioni y=\sqrt{x} e y=x^2.

 

Svolgimento. (1) La situazione è illustrata in figura:

 

inte01-eps-converted-to

 

Il punto di intersezione tra le curve può essere determinato risolvendo l’equazione

    \[\sin x=\cos x\quad \Rightarrow \quad \tan x=1\quad \Rightarrow \quad x=\pi/4.\]

Ne segue che

    \[\begin{aligned} A&=\int_0^{\pi/4}\sin x\ dx+\int_{\pi/4}^{\pi/2}\cos x\ dx= \left[-\cos x\right]_0^{\pi/4}+\left[\sin x\right]_{\pi/4}^{\pi/2}=\\ &=-\frac{\sqrt{2}}{2}+1+1-\frac{\sqrt{2}}{2}=2-\sqrt{2}. \end{aligned}\]

 

Osserviamo la figura

 

inte02-eps-converted-to

 

La curva interseca l’asse delle ascisse nei punti x=\pm 1. Inoltre essa risulta sempre negativa sull’intervallo [-1,1]. Ne segue che

    \[\begin{aligned} A&=\int_{-1}^1 -\frac{x^2-1}{x^2+1}\ dx=\int_{-1}^1 \frac{1-x^2}{1+x^2}\ dx=\int_{-1}^1 \left(\frac{2}{1+x^2}-1\right)\ dx=\\ &=\left[2\arctan x-x\right]_{-1}^1=2\cdot\frac{\pi}{4}-1+2\cdot\frac{\pi}{4}-1=\pi-2. \end{aligned}\]

 

(3) Osserviamo la figura.

 

inte03-eps-converted-to

 

Le curve si intersecano nei punti soluzione del sistema

    \[\left\{\begin{array}{l} y=x^2\\ \\ \displaystyle y=\frac{2}{x^2+1} \end{array}\right.\quad \Rightarrow \quad x^4+x^2-2=0,\]

da cui, posto t=x^2, l’equazione t^2+t-2=0 le cui soluzioni sono t=-2,\ t=1. La prima di queste \`{e} da scartare, mentre la seconda fornisce le soluzioni x=\pm1. Abbiamo allora

    \[\begin{aligned} A&=\int_{-1}^{1}\left[\frac{2}{1+x^2}-x^2\right]\ dx= \left[2\arctan x-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1}=\\ &=2\cdot\frac{\pi}{4}-\frac{1}{3}+2\cdot\frac{\pi}{4}-\frac{1}{3}=\pi-\frac{2}{3}. \end{aligned}\]

 

(4) Si osservi la figura.

 

inte04-eps-converted-to

 

Il punto di intersezione si ricava dalla soluzione dell’equazione

    \[\sqrt{x}=x^2\quad \Rightarrow \quad x^4-x^2=0\quad \Rightarrow \quad x=0,\ x=\pm 1.\]

Il punto x=-1 va scartato in quanto la funzione \sqrt{x} non è definita in esso. Si ha quindi

    \[A=\int_0^1\left[\sqrt{x}-x^2\right]\ dx=\left[\frac{2}{3}\sqrt{x^3}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}.\]

Fonte: ignota.