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Esercizio di allenamento per la maturità numero 8

Preparazione alla maturità

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Esercizio 8. Determinare il volume:

(1) del solido generato dalla rotazione attorno all’asse x della parte di piano compresa tra la curva y=e^x, l’asse x e le rette x=\pm 1;

(2) del solido generato dalla rotazione attorno all’asse x della parte finita di piano limitata dalla curva di equazione y=\sqrt{\tan x}, dall’asse x e dalla retta x=\pi/4;

(3) del solido generato dalla rotazione attorno all’asse x della parte finita di piano compresa tra la parabola y=x^2 e la retta y=x.

 

Svolgimento. (1) Il solido cercato si ottiene dalla rotazione del ramo di curva in figura

 

 

per cui

    \[V=\pi\int_{-1}^1 e^{2x}\ dx=\pi\left[\frac{e^{2x}}{2}\right]_{-1}^1=\pi\frac{e^2-e^{-2}}{2}=\pi\sinh 2.\]

 

(2) Il solido cercato si ottiene dalla rotazione del ramo di curva in figura

 

 

per cui

    \[V=\pi\int_0^{\pi/4} \tan x\ dx=\pi\left[-\log|\cos x|\right]_0^{\pi/4}=\pi\left(-\log\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{\pi}{2}\cdot\log 2.\]

 

(3) Si consideri la figura

 

 

Il solido cercato si può vedere come differenza tra il solido generato dalla rotazione della retta (cono) e quello generato dal ramo di parabola. Il punto di intersezione tra le curve si ottiene risolvendo l’equazione

    \[x=x^2\quad \Rightarrow\quad x^2-x=0\quad \Rightarrow\quad x=0,\ x=1.\]

Il cono cercato è allora quello di base il cerchio di raggio 1 e altezza 1, da cui

    \[V_c=\frac{1}{3}\pi.\]

Il volume del solido cercato è allora

    \[V=V_c-\pi\int_0^1 x^4\ dx=V_c-\pi\left[\frac{x^5}{5}\right]_0^1=\frac{1}{3}\pi-\frac{1}{5}\pi=\frac{2}{15}\pi.\]