Esercizio di allenamento per la maturità numero 8

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Esercizio 8. Determinare il volume:

$(1)$ del solido generato dalla rotazione attorno all’asse $x$ della parte di piano compresa tra la curva $y=e^x$ , l’asse $x$ e le rette $x=\pm 1$ ;

$(2)$ del solido generato dalla rotazione attorno all’asse $x$ della parte finita di piano limitata dalla curva di equazione $y=\sqrt{\tan x}$ , dall’asse $x$ e dalla retta $x=\pi/4$ ;

$(3)$ del solido generato dalla rotazione attorno all’asse $x$ della parte finita di piano compresa tra la parabola $y=x^2$ e la retta $y=x$ .

Svolgimento. $(1)$ Il solido cercato si ottiene dalla rotazione del ramo di curva in figura

per cui

$V=\pi\int_{-1}^1 e^{2x}\ dx=\pi\left[\frac{e^{2x}}{2}\right]_{-1}^1=\pi\frac{e^2-e^{-2}}{2}=\pi\sinh 2.$

$(2)$ Il solido cercato si ottiene dalla rotazione del ramo di curva in figura

per cui

$V=\pi\int_0^{\pi/4} \tan x\ dx=\pi\left[-\log|\cos x|\right]_0^{\pi/4}=\pi\left(-\log\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{\pi}{2}\cdot\log 2.$

$(3)$ Si consideri la figura

Il solido cercato si può vedere come differenza tra il solido generato dalla rotazione della retta (cono) e quello generato dal ramo di parabola. Il punto di intersezione tra le curve si ottiene risolvendo l’equazione

$x=x^2\quad \Rightarrow\quad x^2-x=0\quad \Rightarrow\quad x=0,\ x=1.$