Esercizio di allenamento per la maturità numero 7

Preparazione alla maturità

Home » Esercizio di allenamento per la maturità numero 7
Generic selectors
Exact matches only
Search in title
Search in content
Post Type Selectors
post
page

 

Esercizio 7. Determinare le lunghezze:

(1) del contorno della parte finita di piano delimitata dalla curva di equazione y=2\sqrt{x^3} e dalla retta di equazione y=4x;

(2) dall’arco di curva di equazione y=x^2/2 e dai punti di ascisse 0 e 2;

(3) dall’arco di parabola di equazione y=-x^2+1 giacente nel semipiano di ordinate positive.

 

Svolgimento.  (1) Consideriamo la figura.

 

inte08-eps-converted-to

 

I punti di intersezione si ottengono risolvendo l’equazione

    \[2\sqrt{x^3}=4x\quad \Rightarrow\quad x^3-4x^2=0\quad \Rightarrow\quad x=0,\ x=4,\]


per cui il contorno cercato ha come lunghezza la somma delle lunghezze dei due archi di curva tra 0 e 4, cioè

    \[\begin{aligned} L&=\int_0^4\sqrt{1+(4)^2}\ dx+\int_0^4\sqrt{1+(3\sqrt{x})^2}\ dx=\int_0^4\sqrt{17}\ dx+\int_0^4\sqrt{1+9x}\ dx=\\ &=4\sqrt{17}+\left[\frac{1}{9}\cdot\frac{2}{3}\sqrt{(1+9x)^3}\right]_0^4=4\sqrt{17}+\frac{2}{27}\left(37\sqrt{37}-1\right). \end{aligned}\]

 

(2) Abbiamo

    \[L=\int_0^2\sqrt{1+(x)^2}\ dx=\int_0^2\sqrt{1+x^2}\ dx,\]

da cui, posto x=\sinh t, dx=\cosh t\ dt e t=\log(x+\sqrt{1+x^2}) per cui t=0 per x=0, t=\log(2+\sqrt{5}) per x=2,

    \[\begin{aligned} L&=\int_0^{\log(2+\sqrt{5})}\sqrt{1+\sinh^2 t}\ \cosh t\ dt=\int_0^{\log(2+\sqrt{5})}\cosh^2 t\ dt=\int_0^{\log(2+\sqrt{5})}\frac{1+\cosh 2t}{2}\ dt=\\ &=\left[\frac{t}{2}+\frac{1}{4}\sinh 2t\right]_0^{\log(2+\sqrt{5})}= \frac{\log(2+\sqrt{5})}{2}+\frac{1}{2}\cdot\sinh\left[\log(2+\sqrt{5})\right]\cdot\cosh\left[\log(2+\sqrt{5})\right]=\\ &=\frac{\log(2+\sqrt{5})}{2}+\frac{1}{2}\cdot 2\cdot\sqrt{5}=\frac{\log(2+\sqrt{5})+2\sqrt{5}}{2}. \end{aligned}\]

 

(3) Consideriamo la figura

 

inte10-eps-converted-to

 

I punti di intersezione della curva con l’asse delle ascisse si ottengono risolvendo l’equazione

    \[-x^2+1=0\quad \Rightarrow\quad x=\pm 1,\]


per cui vogliamo calcolare la lunghezza dell’arco di curva parabolico nell’intervallo [-1,1]. Si osservi che, a causa della simmetria della parabola, gli archi di curva per x tra -1 e 0 e per x tra 0 e 1 avranno la stessa lunghezza, e quindi

    \[L=2\int_{0}^1\sqrt{1+(-2x)^2}\ dx=2\int_{0}^1\sqrt{1+4x^2}\ dx.\]


Ponendo t=2x, da cui dt=2\ dx e t=2 per x=1, t=0 per x=0, abbiamo

    \[L=\int_{0}^2\sqrt{1+t^2}\ dt=\frac{\log(2+\sqrt{5})+2\sqrt{5}}{2},\]


ricordando il risultato dell’esercizio precedente.

 

Fonte: Ignota.