Esercizio di allenamento per la maturità numero 7

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Esercizio 7. Determinare le lunghezze:

$(1)$ del contorno della parte finita di piano delimitata dalla curva di equazione $y=2\sqrt{x^3}$ e dalla retta di equazione $y=4x$ ;

$(2)$ dall’arco di curva di equazione $y=x^2/2$ e dai punti di ascisse $0$ e $2$ ;

$(3)$ dall’arco di parabola di equazione $y=-x^2+1$ giacente nel semipiano di ordinate positive.

Svolgimento. $(1)$ Consideriamo la figura.

I punti di intersezione si ottengono risolvendo l’equazione

$2\sqrt{x^3}=4x\quad \Rightarrow\quad x^3-4x^2=0\quad \Rightarrow\quad x=0,\ x=4,$

per cui il contorno cercato ha come lunghezza la somma delle lunghezze dei due archi di curva tra $0$ e $4$ , cioè

$\begin{aligned} L&=\int_0^4\sqrt{1+(4)^2}\ dx+\int_0^4\sqrt{1+(3\sqrt{x})^2}\ dx=\int_0^4\sqrt{17}\ dx+\int_0^4\sqrt{1+9x}\ dx=\\ &=4\sqrt{17}+\left[\frac{1}{9}\cdot\frac{2}{3}\sqrt{(1+9x)^3}\right]_0^4=4\sqrt{17}+\frac{2}{27}\left(37\sqrt{37}-1\right). \end{aligned}$

$(2)$ Abbiamo

$L=\int_0^2\sqrt{1+(x)^2}\ dx=\int_0^2\sqrt{1+x^2}\ dx,$

da cui, posto $x=\sinh t$ , $dx=\cosh t\ dt$ e $t=\log(x+\sqrt{1+x^2})$ per cui $t=0$ per $x=0$ , $t=\log(2+\sqrt{5})$ per $x=2$ ,

$\begin{aligned} L&=\int_0^{\log(2+\sqrt{5})}\sqrt{1+\sinh^2 t}\ \cosh t\ dt=\int_0^{\log(2+\sqrt{5})}\cosh^2 t\ dt=\int_0^{\log(2+\sqrt{5})}\frac{1+\cosh 2t}{2}\ dt=\\ &=\left[\frac{t}{2}+\frac{1}{4}\sinh 2t\right]_0^{\log(2+\sqrt{5})}= \frac{\log(2+\sqrt{5})}{2}+\frac{1}{2}\cdot\sinh\left[\log(2+\sqrt{5})\right]\cdot\cosh\left[\log(2+\sqrt{5})\right]=\\ &=\frac{\log(2+\sqrt{5})}{2}+\frac{1}{2}\cdot 2\cdot\sqrt{5}=\frac{\log(2+\sqrt{5})+2\sqrt{5}}{2}. \end{aligned}$

$(3)$ Consideriamo la figura

I punti di intersezione della curva con l’asse delle ascisse si ottengono risolvendo l’equazione

$-x^2+1=0\quad \Rightarrow\quad x=\pm 1,$

per cui vogliamo calcolare la lunghezza dell’arco di curva parabolico nell’intervallo $[-1,1]$ . Si osservi che, a causa della simmetria della parabola, gli archi di curva per $x$ tra $-1$ e $0$ e per $x$ tra $0$ e $1$ avranno la stessa lunghezza, e quindi