Esercizio 7. Determinare le lunghezze:
del contorno della parte finita di piano delimitata dalla curva di equazione
e dalla retta di equazione
;
dall’arco di curva di equazione
e dai punti di ascisse
e
;
dall’arco di parabola di equazione
giacente nel semipiano di ordinate positive.
Svolgimento. Consideriamo la figura.
I punti di intersezione si ottengono risolvendo l’equazione
per cui il contorno cercato ha come lunghezza la somma delle lunghezze dei due archi di curva tra e
, cioè
Abbiamo
da cui, posto ,
e
per cui
per
,
per
,
Consideriamo la figura
I punti di intersezione della curva con l’asse delle ascisse si ottengono risolvendo l’equazione
per cui vogliamo calcolare la lunghezza dell’arco di curva parabolico nell’intervallo . Si osservi che, a causa della simmetria della parabola, gli archi di curva per
tra
e
e per
tra
e
avranno la stessa lunghezza, e quindi
Ponendo , da cui
e
per
,
per
, abbiamo
ricordando il risultato dell’esercizio precedente.
Fonte: Ignota.