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Esercizio di allenamento per la maturità numero 6

Preparazione alla maturità

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Esercizio 6. Determinare valore medio e valore efficace delle seguenti funzioni negli intervalli a fianco indicati:

1)f(x)=e^x-e^{-x},\,\,[-2, 0];

2)f(x)=\sin x,\,\,[0,\pi];

3)f(x)=\cos x,\,\, [0,2\pi];

4)f(x)=x^3,\,\, [-1,1].

 

Svolgimento. (1) Abbiamo

    \[\begin{aligned} M&=\frac{1}{0-(-2)}\int_{-2}^0(e^x-e^{-x})\ dx=\frac{1}{2}\left[e^x+e^{-x}\right]_{-2}^0=\\ &=\frac{1}{2}\left(1+1-e^{-2}-e^2\right)=1-\frac{e^2+e^{-2}}{2}=1-\cosh 2.\] \end{aligned}\]

Inoltre

    \[\begin{aligned} E&=\sqrt{\frac{1}{2}\int_{-2}^0\left(e^x-e^{-x}\right)^2\ dx}= \sqrt{\frac{1}{2}\int_{-2}^0\left(e^{2x}+e^{-2x}-2\right)\ dx}=\\ &=\sqrt{\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}e^{2x}-\frac{1}{2}e^{-2x}-2x\right]_{-2}^0}= \sqrt{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{-4}+\frac{1}{2}e^4-4\right)}=\\ &=\sqrt{\frac{e^4-e^{-4}}{4}-2}=\sqrt{\frac{1}{2}\sinh 4-2}. \end{aligned}\]

(2) Abbiamo

    \[M=\frac{1}{\pi-0}\int_0^\pi \sin x\ dx=\frac{1}{\pi}\left[-\cos x\right]_0^\pi=\frac{1}{\pi}(1+1)=\frac{2}{\pi},\]

e

    \[\begin{aligned} E&=\sqrt{\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin^2 x\ dx}=\sqrt{\frac{1}{\pi}\int_0^\pi\left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)\ dx}=\\ &=\sqrt{\frac{1}{\pi}\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}\right]_0^\pi}=\sqrt{\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\pi}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}. \end{aligned}\]

 

(3) Abbiamo

    \[M=\frac{1}{2\pi-0}\int_0^{2\pi} \cos x\ dx=\frac{1}{2\pi}\left[\sin x\right]_0^{2\pi}=0,\]

e

    \[\begin{aligned} E&=\sqrt{\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \cos^2 x\ dx}=\sqrt{\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)\ dx}=\\ &=\sqrt{\frac{1}{2\pi}\left[\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}\right]_0^{2\pi}}=\sqrt{\frac{1}{2\pi}\cdot \pi}=\frac{\sqrt{2}}{2}. \end{aligned}\]

(4) Abbiamo

    \[M=\frac{1}{1-(-1)}\int_{-1}^1 x^3\ dx=\frac{1}{2}\left[\frac{x^4}{4}\right]_{-1}^1=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\right)=0,\]

e

    \[E=\sqrt{\frac{1}{2}\int_{-1}^1 x^6\ dx}=\sqrt{\frac{1}{2}\left[\frac{x^7}{7}\right]_{-1}^1}= \sqrt{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{7}+\frac{1}{7}\right)}=\frac{\sqrt{7}}{7}.\]

Fonte: Ignota

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