Esercizio di allenamento per la maturità numero 5

Preparazione alla maturità

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Esercizio 5. Sia f(x)=A e^{-|x|} definita per ogni x\in\mathbb{R}. Determinare il coefficiente A affinché essa risulti una distribuzioni di densità di probabilità.

 

Svolgimento. Deve essere per definizione

    \[\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ dx=1,\]

per cui

    \[\begin{aligned} 1=A\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-|x|}\ dx&=A\left\{\int_{-\infty}^0 e^{-|x|}\ dx+\int_0^{+\infty} e^{-|x|}\ dx\right\}=\\ &=A\left\{\int_{-\infty}^0 e^{x}\ dx+\int_0^{+\infty} e^{-x}\ dx\right\}. \end{aligned}\]

Posto x=-y nel primo integrale abbiamo

    \[\begin{aligned} 1&=A\left\{\int_{+\infty}^0 e^{-y}\ (-dy)+\int_0^{+\infty} e^{-x}\ dx\right\}= A\left\{\int_0^{+\infty} e^{-y}\ dy+\int_0^{+\infty} e^{-x}\ dx\right\}=\\ &=2A\int_0^{+\infty} e^{-x}\ dx=2A\left[-e^{-x}\right]_{0}^{+\infty}=2A, \end{aligned}\]

e quindi A=1/2.

 

Fonte: ignota.