Esercizio 5. Sia 
definita per ogni 
. Determinare il coefficiente 
affinché essa risulti una distribuzioni di densità di probabilità.
Svolgimento. Deve essere per definizione
![\[\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ dx=1,\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bc18453f1edf308896c82fa778b9c797_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
per cui
![\[\begin{aligned} 1=A\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-|x|}\ dx&=A\left\{\int_{-\infty}^0 e^{-|x|}\ dx+\int_0^{+\infty} e^{-|x|}\ dx\right\}=\\ &=A\left\{\int_{-\infty}^0 e^{x}\ dx+\int_0^{+\infty} e^{-x}\ dx\right\}. \end{aligned}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-88e2f411c02e32b76ef3e4a10bfa8aac_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Posto 
nel primo integrale abbiamo
![\[\begin{aligned} 1&=A\left\{\int_{+\infty}^0 e^{-y}\ (-dy)+\int_0^{+\infty} e^{-x}\ dx\right\}= A\left\{\int_0^{+\infty} e^{-y}\ dy+\int_0^{+\infty} e^{-x}\ dx\right\}=\\ &=2A\int_0^{+\infty} e^{-x}\ dx=2A\left[-e^{-x}\right]_{0}^{+\infty}=2A, \end{aligned}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e9eda20717c61b188072a090bc51a4e8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e quindi 
.
Fonte: ignota.