Esercizio di allenamento per la maturità numero 4

Preparazione alla maturità

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Esercizio 4. Data la funzione f_0(x)=(x-2)^2, relativa all’intervallo [0,2], stabilire per quale fattore normalizzante deve essere moltiplicata perché possa essere considerata una distribuzione di densità di probabilità. Determinare quindi il valor medio, la moda e la mediana della variabile casuale. Calcolare infine la probabilità che la variabile causale assuma un valore compreso tra 1 e 2.

 

Svolgimento. Cerchiamo una costante C tale che

    \[C\int_0^2 f(x)\ dx=1.\]

Abbiamo

    \[\int_0^2 (x-2)^2\ dx=\left[\frac{(x-2)^3}{3}\right]_0^2=\frac{8}{3},\]

e quindi C=3/8, da cui la distribuzione f(x)=C f_0(x). Il valor medio è allora

    \[\bar{x}=\int_0^2 x\cdot\frac{3}{8}(x-2)^2\ dx=\frac{3}{8}\int_0^2(x^3-4x^2+4x)\ dx=\]

    \[=\frac{3}{8}\left[\frac{x^4}{4}-\frac{4x^3}{3}+2x^2\right]_0^2=\frac{3}{8}\left(4-\frac{32}{3}+8\right)=\frac{1}{2}.\]

La mediana è il valore x_M per cui

    \[\int_0^{x_M} f(x)\ dx=\int_{x_M}^2 f(x)\ dx=\frac{1}{2},\]

e quindi

    \[\frac{1}{2}=\frac{3}{8}\int_{x_M}^2(x-2)^2\ dx=\frac{3}{8}\left[\frac{(x-2)^3}{3}\right]_{x_M}^2=-\frac{3}{8}\cdot\frac{(x_M-2)^3}{3},\]

o equivalentemente

    \[(x_M-2)^3=-4\implica x_M=2-\sqrt[3]{4}.\]

Poichè

    \[f'(x)=\frac{3}{4}(x-2),\]

e f'(x)\geq 0 se x\geq 2, la funzione f(x) risulta sempre decrescente sull’intervallo [0,2], per cui essa assume valore massimo in x=0 cha rappresenta la sua moda.

Infine per la probabilità che la variabile casuale cada nell’intervallo [1,2] si ha

    \[P_{(1\leq x\leq 2)}=\frac{3}{8}\int_1^2 (x-2)^2\ dx=\frac{3}{8}\left[\frac{(x-2)^3}{3}\right]_1^2= \frac{3}{8}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{8}.\]

Fonte: ignota.