Esercizio di allenamento per la maturità numero 3

Preparazione alla maturità

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Esercizio 3. Verificare che la funzione f(x)=1/[\pi(x^2+1)] è una distribuzione di densità di probabilità su tutto l’asse reale. Determinare poi il valor medio, la moda e la mediana della variabile casuale e la probabilità che essa cada nell’intervallo [-1,1].

 

 

Svolgimento. Abbiamo

    \[\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\pi(x^2+1)}\ dx=\frac{1}{\pi}\left[\arctan x\right]_{-\infty}^{+\infty}= \frac{1}{\pi}\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)=1,\]

e quindi f(x) è una distribuzione di densità di probabilità su tutto l’asse reale. Abbiamo allora

    \[\bar{x}=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x}{\pi(x^2+1)}\ dx=\lim_{a\rightarrow+\infty}\int_{-a}^a \frac{x}{\pi(x^2+1)}\ dx=\]

    \[=\lim_{a\rightarrow+\infty}\frac{1}{2\pi}\left[\log(x^2+1)\right]_{-a}^{a}= \lim_{a\rightarrow+\infty}\frac{1}{2\pi}\cdot 0=0.\]

Per la mediana x_M si ha

    \[\frac{1}{2}=\int_{x_M}^{+\infty}\frac{1}{\pi(x^2+1)}\ dx=\frac{1}{\pi}\left[\arctan x\right]_{x_M}^{+\infty}= \frac{1}{\pi}\left(\frac{\pi}{2}-\arctan x_M\right),\]

e quindi

    \[\arctan x_M=0\quad \Rightarrow \quad x_M=0.\]

Essendo poi

    \[f'(x)=-\frac{2x}{\pi(x^2+1)^2},\]

si ha f'(x)\geq 0 per x\geq 0, per cui la f assume il suo massimo in x=0 che rappresenta la moda. Infine

    \[P_{(-1\leq x\leq 1)}=\int_{-1}^1\frac{1}{\pi(x^2+1)}\ dx=\frac{1}{\pi}\left[\arctan x\right]_{-1}^1= \frac{1}{\pi}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}.\]

Fonte: ignota