Esercizio 2. Sia data l’ellisse di equazione canonica . Calcolare:
la sua area;
il volume dei solidi ottenuti ruotando l’ellisse attorno all’asse delle
e delle
.
Svolgimento. Si osservi che l’ellisse presenta una simmetria rispetto ad entrambi gli assi cartesiani. Ne segue che per calcolare perimetro, area e volume dei solidi di rotazione, basterà restringerci alla sola porzione di essa inclusa nel primo quadrante. La sua equazione, può essere posta allora nella forma
con .
L’area è pari a
volte la superficie della porzione presente nel primo quadrante. Abbiamo
con la sostituzione , da cui
,
per
e
per
In questo caso basterà moltiplicare per
il volume ottenuto facendo ruotare attorno all’asse
la porzione di ellisse suddetta.
Quindi
Nell’altro caso, dovremo considerare l’espressione dell’equazione dell’ellisse nella forma
con , da cui
Fonte: ignota.