Esercizio di allenamento per la maturità numero 2

Preparazione alla maturità

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Esercizio 2. Sia data l’ellisse di equazione canonica x^2/a^2+y^2/b^2=1. Calcolare:

(1) la sua area;

(2) il volume dei solidi ottenuti ruotando l’ellisse attorno all’asse delle x e delle y.

 

 

Svolgimento. Si osservi che l’ellisse presenta una simmetria rispetto ad entrambi gli assi cartesiani. Ne segue che per calcolare perimetro, area e volume dei solidi di rotazione, basterà restringerci alla sola porzione di essa inclusa nel primo quadrante. La sua equazione, può essere posta allora nella forma

    \[f(x)=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2},\]

con 0\leq x\leq a.

(1) L’area è pari a 4 volte la superficie della porzione presente nel primo quadrante. Abbiamo

    \[A=4\int_0^a\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}\ dx=\]

con la sostituzione x=a\sin t, da cui dx=a\cos t\ dt, t=0 per x=0 e t=\pi/2 per x=a

    \[\begin{aligned} =4\frac{b}{a}\int_0^{\pi/2}\sqrt{a^2-a^2\sin^2 t}\cdot a\cos t\ dt&=4ab\int_0^{\pi/2}\cos^2 t\ dt= 4ab\int_0^{\pi/2}\left(\frac{1+\cos 2t}{2}\right)\ dt=\\ &=4ab\left[\frac{t}{2}+\frac{1}{4}\sin 2t\right]_0^{\pi/2}=4ab\cdot\frac{\pi}{4}=\pi ab. \end{aligned}\]

(2) In questo caso basterà moltiplicare per 2 il volume ottenuto facendo ruotare attorno all’asse x la porzione di ellisse suddetta.

Quindi

    \[V=2\pi\int_0^a\frac{b^2}{a^2}(a^2-x^2)\ dx=\frac{2\pi b^2}{a^2}\left[a^2x-\frac{x^3}{3}\right]_0^a= \frac{2\pi b^2}{a^2}\left(a^3-\frac{a^3}{3}\right)=\frac{2\pi b^2}{a^2}\cdot\frac{2a^3}{3}=\frac{4}{3}\pi ab^2.\]

Nell’altro caso, dovremo considerare l’espressione dell’equazione dell’ellisse nella forma

    \[g(y)=\frac{a}{b}\sqrt{b^2-y^2},\]

con 0\leq y\leq b, da cui

    \[V=2\pi\int_0^b\frac{a^2}{b^2}(b^2-x^2)\ dx=\frac{2\pi a^2}{b^2}\left[b^2x-\frac{x^3}{3}\right]_0^b= \frac{2\pi a^2}{b^2}\left(b^3-\frac{b^3}{3}\right)=\frac{2\pi a^2}{b^2}\cdot\frac{2b^3}{3}=\frac{4}{3}\pi ba^2.\]

Fonte: ignota.