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Esercizio di allenamento per la maturità numero 1

Preparazione alla maturità

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Esercizio 1. Sia data la parabola di equazione y=px^2 e i due numeri reali a e b con a<b, che determinano rispettivamente i due punti sulla parabola A(a,p\,a^2), B(b,p\,b^2).

Calcolare

(1) la lunghezza dell’arco parabolico compreso tra A e B;

(2) l’area del settore parabolico delimitato dalla parabola e dalla corda AB;

(3) Il volume del solido di rotazione ottenuto facendo ruotare tale settore parabolico attorno all’asse x.

 

Svolgimento. Consideriamo la figura seguente (abbiamo scelto il caso particolare p=1, a=-2, b=3, solo per dare una idea)

 

 

 

 

(1) Poichè

    \[f'(x)=2px,\]


ne segue che

    \[L=\int_a^b\sqrt{1+4p^2 x^2}\ dx.\]


Poniamo x=\dfrac{1}{2p}\sinh t da cui dx=\dfrac{1}{2p}\cosh t\ dt. Calcoliamo l’integrale indefinito, da cui

    \[\begin{aligned} &\int\sqrt{1+4p^2x^2}\ dx=\frac{1}{2p}\int\sqrt{1+\sinh^2 t}\cdot\cosh t\ dt=\frac{1}{2p}\int\cosh^2 t\ dt=\\ &=\frac{1}{2p}\int\left(\frac{1+\cosh 2t}{2}\right)\ dt=\frac{1}{2p}\left(\frac{t}{2}+\frac{1}{4}\sinh 2t\right)+c=\frac{1}{4p}\left(t+\sinh t\cosh t\right)+c. \end{aligned}\]

Ora

    \[t=\mathrm{sett}\sinh x=\log(x+\sqrt{1+x^2}),\]


    \[\cosh t=\sqrt{1+\sinh^2 t}=\sqrt{1+x^2},\]


da cui

    \[\int\sqrt{1+4p^2x^2}\ dx=\frac{1}{4p}\left[\log(x+\sqrt{1+x^2})+x\sqrt{1+x^2}\right]+c,\]


e quindi

    \[L=\frac{1}{4p}\left[\log\frac{b+\sqrt{1+b^2}}{a+\sqrt{1+a^2}}+b\sqrt{1+b^2}-a\sqrt{1+a^2}\right].\]

(2) Si osservi che l’area del settore parabolico si ottiene come differenza tra l’area del trapezio di vertici A,B, e A'\equiv(a,0), B'\equiv(b,0) e l’area calcolata integrando la funzione tra a e b. Poichè le basi del trapezio ABB'A' sono AA'=pa^2, BB'=pb^2 e l’altezza è A'B'=b-a, segue che

    \[A_{ABB'A'}=\frac{1}{2}(b-a)(pa^2+pb^2)=\frac{p(b-a)(a^2+b^2)}{2}.\]


Quindi

    \[\begin{aligned} &A=A_{ABB'A'}-\int_a^b px^2\ dx=\frac{p(b-a)(a^2+b^2)}{2}-\left[\frac{px^3}{3}\right]_a^b=\\ &=\frac{p(b-a)(a^2+b^2)}{2}-\frac{pb^3}{3}+\frac{pa^3}{3}=\\ &=\frac{p}{6}\left(3a^2b+3b^3-3a^3-3ab^2-2b^3+2a^3\right)=\\ &=\frac{p}{6}\left(b^3-a^3-3ab^2+3a^2b\right)=\\ &=\frac{p}{6}\left[(b-a)(b^2+ab+a^2-3ab)\right]=\frac{p}{6}(b-a)^3. \end{aligned}\]

(3) Osserviamo che il volume del solido cercato si può vedere come differenza tra il volume del tronco di cono ottenuto facendo ruotare il trapezio ABB'A' e il solido di rotazione ottenuto facendo ruotare la parabola attorno all’asse x delimitato dalle rette x=a e x=b. L’equazione della retta AB è

    \[y-pa^2=\frac{pb^2-pa^2}{b-a}(x-a)\quad \Rightarrow\quad y=p(b+a)x-pab,\]


e quindi il volume del tronco di cono

    \[\begin{aligned} V_c&=\pi\int_a^b[p(a+b)x-pab]^2\ dx=p^2\pi\left[\frac{[(a+b)x-ab]^3}{3(a+b)}\right]_a^b=\\ &=\frac{p^2\pi}{3(a+b)}\left([(a+b)b-ab]^3-[(a+b)a-ab]^3\right)=\frac{p^2\pi}{3(a+b)}(b^6-a^6). \end{aligned}\]

Abbiamo poi

    \[V_p=\pi\int_a^b p^2 x^4\ dx=p^2\pi\left[\frac{x^5}{5}\right]^b_a=\frac{p^2\pi}{5}(b^5-a^5),\]

e quindi

    \[\begin{aligned} &V=\frac{p^2\pi}{3(a+b)}(b^6-a^6)-\frac{p^2\pi}{5}(b^5-a^5)=\\ &=\frac{p^2\pi}{15(a+b)}(5b^6-5a^6-3ab^5+3a^6-3b^6+3a^5b)=\\ &=\frac{p^2\pi}{15(a+b)}\left[2(b^6-a^6)-3ab(b^4-a^4)\right]=\\ &\overset{*}{=}\frac{p^2\pi}{15(a+b)}(b^2-a^2)\left[2(b^2+ab+a^2)(b^2-ab+a^2)-3ab(b^2+a^2)\right]=\\ &=\frac{p^2\pi}{15}(b-a)\left[2(b^2+a^2)^2-2a^2b^2+ab(b^2+a^2)-4ab(b^2+a^2)\right]=\\ &=\frac{p^2\pi}{15}(b-a)\left\{2(b^2+a^2)[b^2+a^2-2ab]+ab[b^2+a^2-2ab]\right\}=\\ &=\frac{p^2\pi}{15}(b-a)^3\left(2b^2+2a^2+ab\right). \end{aligned}\]

dove in * abbiamo fatto quanto segue

    \[\begin{aligned} 2(b^6-a^6)-3ab(b^4-a^4) & = 2(b^3-a^3)(b^3+a^3)-3ab(b^2-a^2)(b^2+a^2) =\\ & = 2(b-a)(b^2+ab+a^2)(b+a)(b^2-ab+a^2)-3ab(b^2-a^2)(b^2+a^2) = \\ & = 2(b^2-a^2)(b^2+ab+a^2)(b^2-ab+a^2)-3ab(b^2-a^2)(b^2+a^2) = \\ & = (b^2-a^2)[2 (b^2+ab+a^2)(b^2-ab+a^2)-3ab(b^2+a^2)] \end{aligned}\]

 

Fonte: ignota.