Esercizi per la maturità: proprietà delle funzioni

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Autori: Daniele Bjørn Malesani, Valerio Brunetti, Donato Ciampa, Federico Fallucca.

Introduzione

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In questo articolo presentiamo 15 esercizi sulle proprietà di base delle funzioni: dominio, codominio, funzioni iniettive, suriettive e biettive, funzioni pari e dispari, funzione inversa.

I problemi sono a grandi linee suddivisi per argomenti e corredati di soluzioni complete, al fine di garantire l’apprendimento e il ripasso più efficace in vista dell’esame di maturità.

Esercizi

$\quad$

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia $A=\{2,3\}$ e $B=\{\textrm{Juventus}, \textrm{Milan},\textrm{Roma}\}$ . Quante funzioni non iniettive esistono da $A$ a $B$ ?

Svolgimento.

Una funzione definita su un insieme $A$ di $m$ oggetti a valori in un insieme $B$ di $n$ oggetti si può vedere come una collezione di $n$ scatole affiancate in cui occorre riporre tutti gli $m$ oggetti. Il numero totale di possibili inserimenti è quindi

$m^n,$

che è quindi anche il numero di tutte le possibili funzioni da $A$ a $B$ . Nel nostro caso, il numero totale di funzioni da $A$ in $B$ è quindi $3^2=9$ .

Per le funzioni iniettive, invece, in ogni scatola può essere inserito al più un oggetto. Si osservi che esistono funzioni iniettive da $A$ in $B$ se e solo se $m \leq n$ . Si hanno quindi $n$ scelte per il primo oggetto, $n-1$ per il secondo, … fino a $n-m+1$ per l’ultimo oggetto. Il numero di funzioni iniettive da $A$ in $B$ è dunque pari a

$n(n-1)\cdots(n-m+1).$

Nel nostro caso abbiamo quindi $3\cdot 2=6$ funzioni iniettive da $A$ in $B$ . Il numero di funzioni non iniettive è quindi

$\boxcolorato{superiori}{9-6=3.}$

Una soluzione più immediata, ma che si presta più difficilmente a generalizzazioni, è la seguente. $A$ è composto di due soli elementi, quindi una funzione definita su $A$ è non iniettiva se e solo se i due elementi hanno la stessa immagine. Dato che $B$ consta di $3$ elementi, allora ci sono esattamente $3$ funzioni non iniettive.

Esercizio 2 $(\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme di definizione dell’espressione

$f(x)=\log_2\left(\frac{x^2-1}{x-1}\right).$

$\quad$

Figura 1: grafico della funzione $f$ insieme al suo asintoto verticale $x=-1$ .

$\quad$

Svolgimento.

La funzione logaritmo in una certa base è definita solamente quando l’argomento è positivo. Inoltre osserviamo che il numeratore dell’argomento si può scomporre come $x^2-1=(x-1)(x+1)$ . Supponendo $x\neq 1$ e dividendo il numeratore per il denominatore $x-1$ otteniamo che l’argomento è $x+1$ , il quale è positivo solo per $x>-1$ . Ricordando che la funzione del quesito non era ben befinita per $x=1$ , il dominio di $f$ è

$\boxcolorato{superiori}{(-1,1)\cup (1,+\infty ).}$

In figura 1 mostriamo il grafico di $f$ .

Esercizio 3 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Date due funzioni reali di variabile reale $f, g \colon \mathbb R\to \mathbb R$ , l’identità $f = g$ è equivalente a:

$\quad$

esiste $x\in \mathbb R$ tale che $f(x)=g(x)$ ;

per ogni $x\in\mathbb R$ si ha $f(x)=g(x)$ ;

esistono infiniti valori $x\in\mathbb R$ per cui $f(x)=g(x)$ ;

per rispondere occorre conoscere le espressioni di $f$ e di $g$ ;

nessuna delle precedenti è corretta.

Svolgimento.

L’identità data significa che per ogni valore $x\in \mathbb R$ si ha che $f(x)=g(x)$ .

La risposta corretta è la

$\boxcolorato{superiori}{\text{B).}}$

Esercizio 4 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme di definizione della funzione $f(x) = \dfrac{x - 1}{x^2+4x-5}$ .

Svolgimento.

L’espressione $f(x) = \frac{x - 1}{x^2+4x-5}$ non è definita per gli $x$ che annullano il denominatore. L’espressione è definita quindi se e solo se $x^2+4x-5 \neq 0$ , ossia se e solo se

$x\neq 1 \qquad \makebox{e} \qquad x\neq-5.$

Pertanto l’espressione $f(x)$ è definita per ogni $x$ appartenente all’insieme

$\boxcolorato{superiori}{\mathbb{R} \setminus \{-5,1\}.}$

Si noti che l’espressione della funzione $f$ può essere riscritta come

$f(x)=\frac{x-1}{(x-1)(x+5)},$

che è tuttavia diversa dalla funzione definita da $g(x)=\frac{1}{x+5}$ . Infatti le funzioni $f$ e $g$ coincidono al di fuori di $x=1$ ed in particolare $g$ è un’estensione di $f$ in $x=1$ che, a differenza di $f$ , è definita anche in $x=1$ .

$\quad$

Figura 2.

Esercizio 5 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Sono dati i due insiemi $A=\{x,y,w,z\},\; B=\{a,b,c,d,e,f\}.$

$\quad$

Quante sono le funzioni iniettive da $A$ in $B$ ?

Quante sono le funzioni biunivoche da $A$ in $A$ , con la proprietà che l’immagine di $x$ non è $x$ ?

Svolgimento punto 1.

Le uniche informazioni rilevanti sono chiaramente soltanto quelle relative alle cardinalità degli insiemi coinvolti, $|A|=4$ e $|B|=6$ . Il numero delle funzioni iniettive da $A$ in $B$ è dato dal prodotto

$|B|\cdot(|B|-1)\cdot\ldots\cdot(|B|-|A|+1) = 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3 = \boxcolorato{superiori}{360,}$

in quanto abbiamo a disposizione $|B|$ scelte per l’immagine del primo elemento di $A$ , $|B|-1$ scelte per l’immagine del secondo elemento di $A$ , e così via fino ad esaurire tutti gli elementi di $A$ .

Svolgimento punto 2.

Possiamo rispondere alla seconda parte ragionando per complementazione. Vi sono $4!=24$ funzioni biunivoche tra $A$ ed $A$ , ma di queste $3!=6$ mandano $x$ in $x$ , e sono perciò da escludere. Segue che la risposta alla seconda domanda è

$\boxcolorato{superiori}{24-6= 18.}$

Esercizio 6 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Sono dati i due insiemi $A=\{x,y,w,z\},\; B=\{a,b,c,d,e,f\}.$ Data una funzione biunivoca $f:A\to A$ , un elemento $a\in A$ si dice punto fisso per $f$ se $f(a)=a$ .

Data una funzione biunivoca $f:B\to B$ , questa si dice involutiva se per ogni $b\in B$ , si verifica $f(f(b))=b$ .

$\quad$

Quante sono le funzioni biunivoche da $A$ in $A$ , con la proprietà di avere un unico punto fisso?

Quante sono le funzioni biunivoche e involutive da $B$ in $B$ ?

Svolgimento punto 1.

Su un insieme con quattro elementi, le funzioni biunivoche e con un unico punto fisso sono tante quante le scelte del punto fisso ( $4$ possibilità) per il numero di funzioni che permutano i restanti tre elementi senza che vi siano ulteriori punti fissi ( $2$ possibilità, date da $(a,b,c)\to(b,c,a)$ e $(a,b,c)\to(c,a,b)$ ). La prima risposta è dunque

$\boxcolorato{superiori}{8.}$

Svolgimento punto 2.

Per il secondo punto, notiamo che una funzione involutiva è automaticamente biunivoca. Detto $I_n$ il numero di funzioni involutive sull’insieme $\{1,\ldots,n\}$ , abbiamo $I_1=1$ , $I_2=2$ . Inoltre, per ogni $n\geq 3$ si ha

$I_n = I_{n-1} + (n-1) I_{n-2}$

in quanto sussistono solo due casi: se l’immagine di $n$ è $n$ , la funzione ristretta a $\{1,\ldots,n-1\}$ è ancora involutiva. Se l’immagine di $n$ è $m\neq n$ (per questo $m$ vi sono $n-1$ possibilità), allora l’immagine di $m$ è $n$ , e la funzione ristretta a $\{1,\ldots,n\}\setminus\{m,n\}$ è involutiva su $n-2$ elementi. In particolare:

$\begin{aligned} I_3 &= I_2 + 2 I_1 = 4, \\ I_4 &= I_3 + 3 I_2 = 10,\\ I_5 &= I_4 + 4 I_3 = 26,\\ I_6 &= I_5 + 5 I_4 = 76. \end{aligned}$

Il risultato è quindi

$\boxcolorato{superiori}{76.}$

Esercizio 7 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Quale dei seguenti diagrammi rappresenta qualitativamente il grafico della cubica di equazione $y = x^3-x^2-x+1$ ?

Figura 3.

Svolgimento.

Forse il modo più semplice è fattorizzare la cubica:

$\begin{aligned} y = {} & x^3 - x^2 - x + 1 = \\ = {} & x^2(x-1) - (x-1) = \\ = {} & (x^2-1)(x-1) = \\ = {} & (x-1)^2(x+1). \end{aligned}$

Questo mostra che l’equazione cubica ha una soluzione semplice negativa ( $x = -1$ ) e una soluzione doppia positiva ( $x = +1$ ). Tra le curve proposte, solo la terza gode di queste proprietà. La $\fbox{c}$ è anche consistente con l’andamento asintotico ( $y \to \pm\infty$ per $x \to \pm\infty$ ), con l’intersezione con l’asse delle ordinate ( $y = 1 > 0$ per $x = 0$ ) e con la posizone dei massimi e dei minimi ( $y' = 0$ se $3x^2 - 2x - 1 = 0$ , cioè $x = 1 > 0$ e $x = -1/3 < 0$ ).

La risposta è quindi

$\boxcolorato{superiori}{c.}$

Esercizio 8 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Si considerino le tre funzioni $f,g,h \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definite rispettivamente da

$f(x) = x^3, \quad g(x) = x^4, \quad h(x) = x^5 \qquad \forall x \in \mathbb{R}.$

Senza considerare gli assi cartesiani, in quante regioni dividono il piano $xy$ i grafici di queste tre funzioni?

$\quad$

Figura 4.

$\quad$

Svolgimento.

Osserviamo i seguenti fatti.

$\quad$

Le tre funzioni si intersecano simultaneamente se $x=0$ oppure $x=1$ : $f(0) = g(0) = h(0) = 0$ e $f(1) = g(1) = h(1) = 1$ .

$f$ e $h$ si intersecano anche per $x=-1$ : $f(-1) = h(-1) = -1$ . Al di fuori delle intersezioni qui elencate, non ce ne sono altre.

Per $x < -1$ , si ha $x^5 < x^3 < -1 < x^4$ . \\ Per $-1 < x < 0$ , si ha $-1 < x^3 < x^5 < 0 < x^4$ . \\ Per $0 < x < 1$ , si ha $0 < x^5 < x^4 < x^3 < 1$ . \\ Per $x > 1$ , si ha $1 < x^3 < x^4 < x^5$ .

A questo punto, abbiamo elementi sufficienti per disegnare un grafico qualitativo delle tre funzioni, e contare le regioni, che numeriamo in senso orario. La risposta è quindi

$\boxcolorato{superiori}{\text{9 regioni.}}$

Esercizio 9 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia $f\colon \mathbb R\to \mathbb R$ una funzione reale di variabile reale. Studiare l’eventuale parità della funzione $g\colon \mathbb R\to \mathbb R$ definita da $g(x)\coloneqq f(x^2)$ per ogni $x \in \mathbb{R}$ .

Svolgimento.

La funzione $g$ è sempre pari in quanto

$g(-x)=f((-x)^2)=f(x^2)=g(x) \qquad \forall x\in \mathbb R.$

In figura 5, mostriamo un esempio con $f(x)=\sin(x)$ .

$\quad$

Figura 5: grafici delle funzioni $f$ e $g$ .

Esercizio 10 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Il disegno in figura mostra il grafico di una funzione $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ .

$\quad$

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Quale di questi disegni rappresenta, qualitativamente, il grafico della funzione $g(x) = -f(1+x)$ ?

Figura 6.

Svolgimento.

Per una generica funzione $f$ , la trasformazione $f(x) \to -f(x)$ corrisponde ad una riflessione rispetto all’asse delle ascisse. La trasformazione $f(x) \to f(x+1)$ corrisponde invece ad una traslazione verso la direzione negativa delle ascisse. Componendo le due operazioni, si conclude che $g$ è rappresentata nel primo grafico.

Esercizio 11 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare quale dei seguenti diagrammi rappresenta (qualitativamente) il grafico della curva definita dall’equazione

$y = \frac{1}{4x-x^2-5}.$

Figura 7.

Svolgimento.

Un modo per procedere è notare la seguente uguaglianza:

$y = \frac{1}{4x-x^2-5} = -\frac{1}{(x-2)^2+1}.$

Questo mostra che la funzione è sempre negativa ed è definita su tutto $\mathbb{R}$ . Il termine $(x-2)^2 + 1$ è una parabola che ha minimo assoluto per $x = 2$ , per cui anche l’opposto del suo inverso, $y = -1 / [(x-2)^2 + 1]$ , ha un minimo assoluto in $x = 2$ .

Le prime due risposte sono dunque escluse perché rappresentano funzioni positive. La quarta opzione è esclusa perché il minimo si ha per $x < 0$ . Almeno qualitativamente, il terzo grafico rispetta invece tutte le proprietà di $y$ .

Esercizio 12 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Si consideri il grafico della funzione $y = \sin(x)$ , lo si rifletta prima rispetto alla retta $x = \pi$ e dopo rispetto alla retta $y = 2$ . Quale equazione descrive il grafico risultante?

Svolgimento.

Forse il modo più veloce per risolvere il problema è osservare il grafico $y = \sin(x)$ ed effettuare le due trasformazioni, come indicato in figura.

Figura 8.

$\quad$

Dopo la riflessione rispetto alla retta $x=\pi$ la funzione è descritta da $y=\sin(\pi-x)= -\sin(x)$ . Dopo l’ulteriore riflessione rispetto alla retta $y=2$ il grafico è descritto dall’equazione $y=2+(2-\sin x) = 4+ \sin x$ . Il risultato è quindi l’equazione

$\boxcolorato{superiori}{y = 4+\sin(x).}$

Esercizio 13 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . La figura mostra il grafico di una funzione $f \colon A \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ .

$\quad$

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 9.

$\quad$

Quale dei seguenti diagrammi mostra il grafico della funzione definita da $y = -f(-x)$ ?

Figura 10.

$\quad$

Svolgimento.

Il grafico della funzione $f(-x)$ è dato dalla riflessione del grafico di $f(x)$ rispetto all’asse delle ordinate (che coincide con la figura $\fbox{a}$ ). Per ottenere il grafico di $-f(-x)$ è poi necessario ribaltare il risultato anche attorno all’asse delle ascisse. La risposta è quindi

$\boxcolorato{superiori}{c.}$

Esercizio 14 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Si considerino le funzioni $S$ , $T$ , $F$ : $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , così definite:

$\begin{array}{l} S(x) = x+1; \\ T(x) = -x. \end{array}$

Applicando $s$ volte $S$ e $t$ volte $T$ , in ordine non conosciuto e non necessiaramente consecutivo, si ottiene la funzione

$F(x) = 8-x.$

Cosa si può dire sulla parità di $s$ e $t$ ?

Svolgimento.

In questa soluzione, data una funzione $f$ ed un intero positivo $n$ , denotiamo con $f^n$ la composizione ripetuta (e non l’elevamento a potenza o la derivazione):

$f^n(x) = \underbrace{f\circ f \circ \cdots \circ f}_{\text{$n$ volte}}(x) = \underbrace{f(f(\cdots f}_{\text{$n$ volte}}(x))).$

Osserviamo innanzitutto che:

$\begin{aligned}S^s(x) = {} & S^{s-1}(S(x)) = S^{s-1}(x+1) = \\ = {} & S^{s-2}(S(x+1)) = S^{s-2}(x + 2) = \cdots = x+s. \end{aligned}$

Inoltre, $T \circ T(x) = -(-x) = x$ , cioè $T^2$ è la funzione identità.

La composizione ripetuta di $S$ e $T$ porta necessariamente ad una funzione del tipo $\pm x + m$ , dove $m$ è un numero intero (non necessariamente positivo). Ogni applicazione di $T$ comporta l’inversione del segno di $x$ (mentre $S$ lo lascia invariato). Dato che in $F$ compare $-x$ , $T$ deve essere applicata un numero dispari di volte. L’applicazione di $T$ , inoltre, non cambia la parità di $m$ (cioè se $m$ è pari o dispari), mentre $S$ la cambia ad ogni applicazione: dato che si parte da $m = 0$ , $S$ deve essere applicata un numero pari di volte per arrivare a $m = 8$ . Quindi

$\boxcolorato{superiori}{\text{$s$ è pari e $t$ è dispari.}}$

Esercizio 15 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Si consideri la funzione

$f(x) = 2^{x^2-4x+3}.$

Come si può ottenere il suo grafico trasformando opportunamente quello della funzione $g(x) = 2^{x^2}$ ?

Svolgimento.

Per evitare confusione, ricordiamo innanzitutto che la corretta lettura della notazione $2^{x^2}$ è $2^{(x^2)}$ . Detto questo, osserviamo che:

$f(x) = 2^{x^2-4x+4-1} = 2^{(x-2)^2-1} = \frac{1}{2} \cdot 2^{(x-2)^2} = \frac{1}{2} \cdot g(x-2).$

In questo modo si vede come $f$ si ottiene da $g$ effettuando prima una traslazione di 2 verso la direzione positiva delle ascisse e poi una compressione di un fattore 2 (un riscalamento) lungo l’asse delle ordinate.

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