Esercizi per la maturità: Logaritmi

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Autori e revisori

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Autori: Daniele Bjørn Malesani, Valerio Brunetti, Donato Ciampa, Federico Fallucca.

Introduzione

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In questo articolo proponiamo 60 esercizi sui logaritmi per il ripasso in vista dell’esame di maturità. I logaritmi, operazione inversa dell’elevamento a potenza, costituiscono un importante argomento nel percorso di studi matematici tipicamente effettuato alle scuole superiori.

Gli esercizi proposti in questa raccolta coprono vari temi di carattere teorico e pratico sui logaritmi, presentano difficoltà e tecniche diverse e sono corredati di soluzione completa, così da offrire al lettore un utilissimo banco di prova in vista dell’esame di maturità.

Esercizi

$\quad$

Esercizio 1 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare il campo di esistenza di

$f(x)=\log_{10}\frac{x}{x^2-9}.$

Svolgimento.

Il logaritmo di un numero in una certa base è definito solo quando l’argomento è positivo, perciò il dominio di esistenza della funzione $f$ è l’insieme dei punti $x$ per cui

$\frac{x}{x^2-9}>0. %\implies x>0 \or x^2-9>0 -3< x <0, \quad x>3.$

Dobbiamo studiare quindi i segni di $x$ e di $x^2-9=(x+3)(x-3)$ e selezionare solo l’insieme dei valori $x$ per cui il prodotto dei loro segni è positivo. Lavoriamo con l’usuale diagramma:

$\quad$

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$\quad$

Quindi si ottiene

$\boxcolorato{superiori}{ -3< x <0, \quad \vee \quad x>3. }$

Il grafico della funzione $f$ è mostrato in figura 1.

$\quad$

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Figura 1: grafico della funzione $f$ .

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare la relazione esistente tra $\log_b(a)$ e $\log_c(a)$ .

Svolgimento.

La formula è quella del cambio di base del logaritmo, ma volendo la si può facilemente ricavare:

$b^{\log_b(a)}=a=c^{\log_c(a)}=\left(b^{\log_b(c)}\right)^{\log_c(a)}=b^{\log_b(c)\log_c(a)}.$

Uguagliando gli esponenti del primo e dell’ultimo membro otteniamo che

$\boxcolorato{superiori}{\log_b(a) = \log_b(c)\log_c(a).}$

Esercizio 3 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Quale dei seguenti numeri differisce dagli altri?

$\quad$

$\log_3(27)$ ;

$\ln(\frac{1}{e}\cdot e^{4})$ ;

$\sqrt{\log_4{\left(2^{18}\right)}}$ ;

$-\log_{\frac{1}{3}}(3^3)$ ;

$\sqrt[3]{\log_2(2\cdot 4^{4})}$ .

Svolgimento.

Tutti i numeri tranne E) sono uguali a $3$ :

$\begin{aligned} \log_3(27) &=\log_3(3^3)=3\log_33=3 \\ \ln\left (\frac{1}{e}\cdot e^{4}\right ) &= \ln(e^{-1}\cdot e^4)=\ln(e^{4-1})=3\ln(e)=3; \\ \sqrt{\log_4{\left(2^{18}\right)}}& = \sqrt{\log_4{\left(4^{9}\right)}}=\sqrt{9\log_4{4}}=3;\\ -\log_{\frac{1}{3}}(3^3) & =-\log_{\frac{1}{3}}\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{-3}\right)=-(-3)\log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{3}\right)=3.\\ \end{aligned}$

Invece E) è uguale a

$\sqrt[3]{\log_2(2\cdot 4^{4})}=\sqrt[3]{\log_2(2^9)}=\sqrt[3]{9\log_2(2)}=\sqrt[3]{9}\neq 3,$

che è quindi la risposta corretta.

Esercizio 4 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Dato $a>0$ , $a\neq 1$ , quanto vale il prodotto $\ln(a)\log_a(e)$ ?

Svolgimento.

Utilizziamo la proprietà dei logaritmi per cui $\log (x^y)=y\log(x)$ :

$\ln(a)\log_a(e)=\ln(a^{\log_a(e)})=\ln(e)=1.$

La risposta è quindi

$\boxcolorato{superiori}{\ln(a)\log_a(e)=1}$

Esercizio 5 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Senza utilizzare la calcolatrice, quale dei seguenti numeri è il più grande?

$\log_2(3), \quad \log_4(8), \quad \log_3(2), \quad \log_5(10).$

Svolgimento.

Innanzitutto notiamo che, essendo $2 < 3$ , si ha:

$\log_3(2) <\log_3(3) = 1.$

Ricordiamo ora le queste proprietà dei logaritmi:

$\begin{gathered} \log(a\cdot b) = \log(a)+\log(b) \quad (a,b > 0); \\ \log(a^c) = c \cdot \log(a) \quad (a > 0,\ c \in \mathbb{R}). \end{gathered}$

Cominciamo ad osservare che:

$\log_4(8) = \log_4(4\cdot2) = \log_4\left(4\cdot\sqrt{4}\,\right) = \log_4\left(4^{3/2}\right) = \frac{3}{2}.$

E ancora, dato che $\log_2(x)$ è una funzione crescente e che $9 > 8$ :

$\log_2(3) = \log_2\left(\sqrt{3^2}\,\right) = \frac{1}{2}\log_2(9) > \frac{1}{2}\log_2(8) = \frac{3}{2}.$

Infine, dato che $4 < 5$ :

$\begin{aligned} \log_5(10) = {} & \log_5(5\cdot2) = \log_5(5) + \log_5(2) = 1+ \log_5(2) = \\ = {} & 1 + \log_5\left(\sqrt{2^2}\,\right) = 1 + \frac{1}{2}\log_5(4) < 1 + \frac{1}{2}\log_5(5) = \frac{3}{2}. \end{aligned}$

Mettendo assieme le quattro relazioni trovate, concludiamo che:

$\log_3(2) < 1 < \log_5(10) < \frac{3}{2} = \log_4(8) < \log_2(3).$

$\quad$

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$\quad$

La risposta è quindi

$\boxcolorato{superiori}{\log_2(3).}$

Esercizio 6 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Quale delle seguenti figure rappresenta qualitativamente il grafico della funzione $f(x) = \log_{10}(x^2-2x+2)$ ?

Svolgimento.

Riscriviamo opportunamente l’argomento del logaritmo:

$x^2 - 2x + 2 = 1 + (x-1)^2.$

Questa è una parabola con la concavità rivolta verso l’alto e con vertice in $(1,1)$ (che in particolare ha ascissa positiva). E’ quindi sempre maggiore di 1, decrescente per $x \leq 1$ e crescente per $x \geq 1$ . Applicando il logaritmo (che è una funzione monotona crescente), vengono preservate diverse proprietà del grafico: la funzione $f$ ha un minimo per $x = 1$ , è decrescente per $x < 1$ e crescente per $x > 1$ , e $f(1) = \log_{10}(1) = 0$ . In particolare, c’è un’unica intersezione (positiva) con l’asse delle ascisse. Queste caratteristiche sono consistenti solo con l’ultimo grafico.

Gli altri grafici sono facilmente esclusi. Il primo non ha intersezioni con l’asse delle ascisse. Il secondo ha un’intersezione con l’asse delle ascisse ma è negativa. Il terzo ed il quarto hanno un asintonto verticale, che la funzione $f$ non ha perché $x^2-2x+2 \ne 0$ per ogni $x \in \mathbb{R}$ . La risposta è quindi

$\boxcolorato{superiori}{\text{e.}}$

Esercizio 7 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Quale delle seguenti espressioni è uguale a $\log_{10}(10\cdot 9\cdot 8\cdots2\cdot 1)$ ?

$\quad$

$1+5\log_{10}(2)+4\log_{10}(6)$ .

$1+4\log_{10}(2)+2\log_{10}(6)+\log_{10}(7)$ .

$2+2\log_{10}(2)+4\log_{10}(6)+\log_{10}(7)$ .

$2+6\log_{10}(2)+4\log_{10}(6)+\log_{10}(7)$ .

$2+6\log_{10}(2)+4\log_{10}(6)$ .

Svolgimento.

E’ sufficiente utilizzare le proprietà dei logaritmi, e raggruppare opportunamente i fattori presenti nell’argomento, mettendo in evidenza i numeri 10, 7, 6 e 2 (quelli suggeriti dalla rosa delle possibili risposte).

$\begin{aligned} \phantom{=} {} & \log_{10}(10\times9\times8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1) = \\ = {} & \log_{10}({\color{purple}10}\times{\color{blue}9}\times{\color{blue}8}\times{\color{green}7}\times{\color{blue}6}\times{\color{purple}5}\times{\color{orange}4}\times{\color{blue}3}\times{\color{purple}2}) = \\ = {} & \log_{10}({\color{purple}10^2}\times{\color{blue}6^4}\times{\color{green}7}\times{\color{orange}2^2}) = \\ = {} & {\color{purple}2} + 4\log_{10}({\color{blue}6}) + \log_{10}({\color{green}7}) + 2\log_{10}({\color{orange}2}). \end{aligned}$

La risposta corretta è dunque la

$\boxcolorato{superiori}{\text{3.}}$

Esercizio 8 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Nei seguenti esercizi, calcolare ciascun logaritmo richiesto, riportando il risultato in forma semplificata.

$\quad$

$\log_{2}16,\quad \log_{3}9,\quad \log_{5}125,\quad \log_{7}49.$

$\log_{10}100,\quad \log_{10}1000,\quad \log_{11}121,\quad \log_{7}343.$

$\log_{3}\!\left(\tfrac{1}{9}\sqrt{3}\right),\quad \log_{2}\tfrac{1}{16},\quad \log_{8}0.04,\quad \log_{745}1.$

$\log_{2}\!\left(\tfrac{4}{\sqrt2}\right),\quad \log_{3}\!\left(3\sqrt3\right),\quad \log_{2}\!\left(\tfrac{\sqrt4}{2}\right),\quad \log_{8}\!\left(6\sqrt6\right).$

$\log_{7}\!\left(7\sqrt7\right),\quad \log_{3}\tfrac{1}{\sqrt3},\quad \log_{2}\!\left(\sqrt2\cdot\sqrt2\right),\quad \log\!\left(\tfrac{1}{\sqrt{10}}\right).$

$\log_{5}\sqrt[5]{5},\quad \log_{\frac12}\!\left(\tfrac{\sqrt2}{2}\right),\quad \log_{3}\!\left(\tfrac{3\sqrt3}{\sqrt9}\right),\quad \log_{5}\!\left(0.2\,\tfrac{\sqrt5}{5}\right).$

$\log_{3}\!\left(27\sqrt3\right),\quad \log_{4}\tfrac12,\quad \log_{25}\!\left(\tfrac{5}{\sqrt5}\right),\quad \log_{8}\sqrt4.$

$\log_{625}\!\left(\tfrac{\sqrt5}{25}\right),\quad \log_{16}\!\left(\tfrac{2}{\sqrt2}\right),\quad \log\!\left(1000\cdot\sqrt[8]{10}\right),\quad \log_{49}\sqrt[7]{\tfrac17}.$

$\log_{4}2,\quad \log_{\frac19}\!\left(\tfrac{1}{\sqrt3}\right),\quad \log_{100}\sqrt[10]{10},\quad \log\!\left(\tfrac{1}{10}\sqrt{10}\right).$

$\log_{\sqrt2}1,\quad \log_{\sqrt2}256,\quad \log_{2\sqrt2}2,\quad \log_{0.1}10.$

$\log_{6.25}0.064,\quad \log_{\frac43}\!\left(\tfrac{16}{9}\right),\quad \log_{9}\!\left(\tfrac{1}{729}\right),\quad \log_{\frac19}729.$

$\log_{\frac23}\!\left(\tfrac{8}{27}\right),\quad \log_{5}3125,\quad \log_{\frac12}\tfrac14,\quad \log_{\frac34}\!\left(\tfrac{16}{9}\right).$

$\log\tfrac12,\quad \log_{0.8}\!\left(\tfrac{25}{16}\right),\quad \log_{10}\tfrac{1}{\sqrt{10}},\quad \log_{0.1}1000.$

$\log_{a}a,\quad \log_{2a}(4a^{2}),\quad \log_{\sqrt{a}}a^{3},\quad \log_{a\sqrt{a}}\!\left(a\sqrt{a}\right).$

$\log_{2+\sqrt2}\!\left(6+4\sqrt2\right),\quad \log_{a+1}\frac{1}{a+1},\quad \log_{a^{2}}\frac{1}{a},\quad \log_{\frac{2}{a}}\frac{a^{3}}{8}.$

Svolgimento.

Di seguito sono riportate le proprietà dei logaritmi che verranno utilizzate nello svolgimento.

$\boxed{1}$ $\log_{b} b^{k}=k$ \quad $\bigl(b>0,\; b\neq1,\; k\in\mathbb{R}\bigr)$ .

$\boxed{2}$ $\displaystyle \log_{\,b^{m}}\!a^{\,n} =\frac{n}{m}\,\log_{b} a$ \quad $\bigl(a>0,\; b>0,\; b\neq1,\; m\neq0\bigr)$ .

$\boxed{3}$ $a^{p/q}=\sqrt[q]{a^{p}},\qquad \sqrt[n]{a}=a^{1/n}$

$\bigl( p,q,n\in\mathbb{Z},\; q,n\neq0;\; a\ge0\ \text{se }q,n\text{ sono pari};\; a>0\ \text{in generale} \bigr)$ .

Svolgimento punto 1.

Si applica la proprietà $\boxed{1}$ .

$\begin{aligned} &\log_{2}16 = \log_{2}2^{4}=4,\\ &\log_{3}9 = \log_{3}3^{2}=2,\\ &\log_{5}125 = \log_{5}5^{3}=3,\\ &\log_{7}49 = \log_{7}7^{2}=2. \end{aligned}$

Svolgimento punto 2.

Si applica la proprietà $\boxed{1}$ alle potenze intere di $10,11,7$ .

$\begin{aligned} &\log_{10}100 = \log_{10}10^{2}=2,\\ &\log_{10}1000 = \log_{10}10^{3}=3,\\ &\log_{11}121 = \log_{11}11^{2}=2,\\ &\log_{7}343 = \log_{7}7^{3}=3. \end{aligned}$

Svolgimento punto 3.

Si utilizzano le proprietà $\boxed{3}$ e il cambio di base $\boxed{2}$

$\begin{aligned} &\log_{3}\!\Bigl(\tfrac1{9}\sqrt3\Bigr) =\log_{3}\bigl(3^{-2}\cdot3^{1/2}\bigr) =\log_{3}3^{-3/2} =-\tfrac32,\\[4pt] &\log_{2}\tfrac1{16} =\log_{2}2^{-4} =-4,\\[4pt] &\log_{8}0.04 =\frac{\log_{2}0.04}{\log_{2}8} =\frac{\log_{2}(5^{-2})}{3} = -\frac{2}{3} \log_2 5 \approx-1.548,\\[4pt] &\log_{745}1 = 0 \qquad(\text{qualunque base}). \end{aligned}$

Svolgimento punto 4.

Si impiega la proprietà $\boxed{3}$ sulle potenze razionali.

$\begin{aligned} &\log_{2}\!\Bigl(\tfrac{4}{\sqrt2}\Bigr) =\log_{2}(2\sqrt2) =\log_{2}2^{3/2} =\tfrac32,\\[4pt] &\log_{3}(3\sqrt3) =\log_{3}3^{3/2} =\tfrac32,\\[4pt] &\log_{2}\!\Bigl(\tfrac{\sqrt4}{2}\Bigr) =\log_{2}1 =0,\\[4pt] &\log_{8}(6\sqrt6) =\tfrac{\tfrac32\log_{2}6}{3} = \frac{1+\log_2 3}{2} \approx1.292. \end{aligned}$

Svolgimento punto 5.

Si adoperano ancora le potenze razionali $\boxed{3}$

$\begin{aligned} &\log_{7}(7\sqrt7) =\log_{7}7^{3/2} =\tfrac32,\\[4pt] &\log_{3}\tfrac1{\sqrt3} =\log_{3}3^{-1/2} =-\tfrac12,\\[4pt] &\log_{2}(\sqrt2\!\cdot\!\sqrt2) =\log_{2}2 =1,\\[4pt] &\log_{10}\!\Bigl(\tfrac1{\sqrt{10}}\Bigr) =\log_{10}10^{-1/2} =-\tfrac12. \end{aligned}$

Svolgimento punto 6.

Si applicano radici e basi frazionarie ( $\boxed{3}$ )

$\begin{aligned} &\log_{5}\sqrt[5]{5} =\log_{5}5^{1/5} =\tfrac15,\\[4pt] &\log_{\frac12}\Bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr) =\log_{2^{-1}}2^{-1/2} =\tfrac12,\\[4pt] &\log_{3}\Bigl(\tfrac{3\sqrt3}{\sqrt9}\Bigr) =\log_{3}\sqrt3 = \log_3 3^{\frac{1}{2}} =\tfrac12,\\[4pt] &\log_{5}\!\Bigl(0.2\cdot\tfrac{\sqrt5}{5}\Bigr) =\log_{5}5^{-3/2} =-\tfrac32. \end{aligned}$

Svolgimento punto 7.

Si combinano le proprietà $\boxed{3}$ e il cambio di base $\boxed{2}$ .

$\begin{aligned} &\log_{3}(27\sqrt3) =\log_{3}3^{7/2} =\tfrac72,\\[4pt] &\log_{4}\tfrac12 =\log_{4}4^{-1/2} =-\tfrac12,\\[4pt] &\log_{25}\!\Bigl(\tfrac{5}{\sqrt5}\Bigr) =\log_{5^{2}}5^{1/2} =\tfrac14,\\[4pt] &\log_{8}\sqrt4 =\frac{\log_{2}2}{\log_{2}8} =\tfrac13. \end{aligned}$

Svolgimento punto 8.

Si applicano $\boxed{3}$ e $\boxed{2}$ a basi elevate.

$\begin{aligned} &\log_{625}\!\Bigl(\tfrac{\sqrt5}{25}\Bigr) =\log_{5^{4}}5^{-3/2} =-\tfrac38,\\[4pt] &\log_{16}\!\Bigl(\tfrac{2}{\sqrt2}\Bigr) =\log_{2^{4}}2^{1/2} =\tfrac18,\\[4pt] &\log_{10}\!\bigl(1000\sqrt[8]{10}\bigr) =\log_{10}10^{25/8} =\tfrac{25}{8},\\[4pt] &\log_{49}\sqrt[7]{\tfrac17} =\log_{7^{2}}7^{-1/7} =-\tfrac1{14}. \end{aligned}$

Svolgimento punto 9.

Si trattano potenze negative e frazioni.

$\begin{aligned} &\log_{4}2 =\log_{2^{2}}2 =\tfrac12,\\[4pt] &\log_{\frac19}\!\Bigl(\tfrac1{\sqrt3}\Bigr) =\log_{3^{-2}}3^{-1/2} =\tfrac14,\\[4pt] &\log_{100}\sqrt[10]{10} =\log_{10^{2}}10^{1/10} =\tfrac1{20},\\[4pt] &\log_{10}\!\Bigl(\tfrac1{10}\sqrt{10}\Bigr) =\log_{10}10^{-1/2} =-\tfrac12. \end{aligned}$

Svolgimento punto 10.

Si considerano basi irrazionali e decimali.

$\begin{aligned} &\log_{\sqrt2}1 = 0,\\[4pt] &\log_{\sqrt2}256 =\log_{2^{1/2}}2^{8} =16,\\[4pt] &\log_{2\sqrt2}2 =\log_{2^{3/2}}2 =\tfrac23,\\[4pt] &\log_{0.1}10 =\log_{10^{-1}}10 =-1. \end{aligned}$

Svolgimento punto 11.

Si operano trasformazioni con basi e argomenti frazionari.

$\begin{aligned} &\log_{6.25}0.064 =\log_{(5/2)^{2}}(2/5)^{3} =-\frac{1}{2} \log_{2/5} (2/5)^{3} =-\tfrac32,\\[4pt] &\log_{\frac43}\!\Bigl(\tfrac{16}{9}\Bigr) =\log_{(4/3)}(4/3)^{2} =2,\\[4pt] &\log_{9}\!\Bigl(\tfrac1{729}\Bigr) =\log_{3^{2}}3^{-6} =\frac{1}{2}\log_3 3^{-6} =-3,\\[4pt] &\log_{\frac19}729 =\log_{3^{-2}}3^{6} =-\frac{1}{2}\log_3 3^{6} =-3. \end{aligned}$

Svolgimento punto 12.

Si impiegano basi decimali e potenze frazionarie.

$\begin{aligned} &\log_{\frac23}\!\Bigl(\tfrac{8}{27}\Bigr) =\log_{(2/3)}(2/3)^{3} =3,\\[4pt] &\log_{5}3125 =\log_{5}5^{5} =5,\\[4pt] &\log_{\frac12}\tfrac14 =\log_{1/2}(1/2)^{2} =2,\\[4pt] &\log_{\frac34}\!\Bigl(\tfrac{16}{9}\Bigr) =\log_{(3/4)}(3/4)^{-2} =-2. \end{aligned}$

Svolgimento punto 13.

Si evidenziano logaritmi negativi con decimali.

$\begin{aligned} &\log_{10}\tfrac12 =-\log_{10}2 \approx-0.3010,\\[4pt] &\log_{0.8}\!\Bigl(\tfrac{25}{16}\Bigr) =\log_{4/5}(5/4)^{2} =-\log_{5/4}(5/4)^{2} =-2,\\[4pt] &\log_{10}\tfrac1{\sqrt{10}} =\log_{10}10^{-1/2} =-\tfrac12,\\[4pt] &\log_{0.1}1000 =\log_{10^{-1}}10^{3} = -\log_{10} 10^3 =-3. \end{aligned}$

Svolgimento punto 14.

Si utilizzano basi dipendenti dal parametro $a$ .

$\begin{aligned} &\log_{a}a = 1,\\[4pt] &\log_{2a}(4a^{2}) =\log_{2a}(2a)^{2} =2,\\[4pt] &\log_{\sqrt{a}}a^{3} =\log_{a^{1/2}}a^{3} =2\log_a a^3 =6,\\[4pt] &\log_{a\sqrt{a}}(a\sqrt{a}) =1. \end{aligned}$

Svolgimento punto 15.

Si applicano logaritmi con parametri e numeri irrazionali.

$\begin{aligned} &\log_{2+\sqrt2}(6+4\sqrt2) =\log_{2+\sqrt2}(2+\sqrt2)^{2} =2,\\[4pt] &\log_{a+1}\tfrac1{a+1} =-1,\\[4pt] &\log_{a^{2}}\tfrac1{a} =\log_{a^{2}}a^{-1} =-\tfrac12,\\[4pt] &\log_{\frac{2}{a}}\!\Bigl(\tfrac{a^{3}}{8}\Bigr) = -\log_{\frac{a}{2}} \left (\frac{a}{2}\right )^3 =-3. \end{aligned}$

Esercizio 9 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Riscrivere ciascuna delle seguenti espressioni logaritmiche come somma o differenza di logaritmi, applicando le proprietà dei logaritmi e delle potenze. Si assuma che tutti gli argomenti siano positivi.

$\quad$

$\displaystyle \log\!\left(\frac{3}{5a}\right)$

$\displaystyle \log_{\tfrac{2}{3}}\!\left(\frac{3\sqrt{a}}{b}\right)$

$\displaystyle \log\!\left(\frac{5a}{b^{2}}\sqrt{b}\right)$

$\displaystyle \log_{\sqrt{2}}\!\left(\frac{\sqrt{4}}{8\sqrt{2}}\right)$

$\displaystyle \log_{5}\!\left(\frac{5}{61\,\sqrt{91}}\right)$

$\displaystyle \log\!\left(\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{3}}{17}\right)$

Svolgimento.

Riportiamo di seguito le proprietà dei logaritmi che utilizzeremo nello svolgimento dell’esercizio.

$\boxed{4}$ $\log_{b}(xy)=\log_{b}x+\log_{b}y$ (prodotto $\rightarrow$ somma) $\bigl(b>0,\;b\neq1,\;x>0,\;y>0\bigr)$

$\boxed{5}$ $\log_{b}\!\Bigl(\tfrac{x}{y}\Bigr)=\log_{b}x-\log_{b}y$ (quoziente $\rightarrow$ differenza) $\bigl(b>0,\;b\neq1,\;x>0,\;y>0\bigr)$

$\boxed{6}$ $\log_{b}x^{k}=k\,\log_{b}x$ (potenza $\rightarrow$ coefficiente) $\bigl(b>0,\;b\neq1,\;x>0,\;k\in\mathbb{R}\bigr)$

Svolgimento punto 1.

Vengono impiegate prima la proprietà del quoziente $\boxed{5}$ , quindi quella del prodotto $\boxed{4}$ :

$\begin{aligned} &\log\!\Bigl(\tfrac{3}{5a}\Bigr) =\log 3-\log(5a) =\log 3-\bigl(\log 5+\log a\bigr) =\log 3-\log 5-\log a. \end{aligned}$

Svolgimento punto 2.

Si applicano la proprietà del quoziente $\boxed{5}$ , la proprietà del prodotto $\boxed{4}$ e la potenza a esponente frazionario $\boxed{6}$ :

$\begin{aligned} &\log_{\frac23}\!\Bigl(\tfrac{3\sqrt a}{\,b}\Bigr) =\log_{\frac23}3+\log_{\frac23}\sqrt a-\log_{\frac23}b =\log_{\frac23}3+\tfrac12\log_{\frac23}a-\log_{\frac23}b. \end{aligned}$

Svolgimento punto 3.

Vengono utilizzate la proprietà del prodotto $\boxed{4}$ e quella delle potenze $\boxed{6}$ ; il termine al denominatore introduce un ulteriore uso della proprietà del quoziente $\boxed{5}$ :

$\begin{aligned} &\log\!\Bigl(\tfrac{5a}{b^{2}}\sqrt b\Bigr) =\log(5a)+\log\sqrt b-\log b^{2} =\bigl(\log 5+\log a\bigr)+\tfrac12\log b-2\log b =\log 5+\log a-\tfrac32\log b. \end{aligned}$

Svolgimento punto 4.

Dopo alcune manipolazioni, si adopera la trasformazione di potenze $\boxed{6}$ :

$\begin{aligned} &\log_{\sqrt2}\!\Bigl(\tfrac{\sqrt4}{8\sqrt2}\Bigr) =\log_{\sqrt2}\!\Bigl(\tfrac{2}{2^{7/2}}\Bigr) =\log_{\sqrt2}2^{-5/2} =2 \log_2 2^{-5/2} =-5. \end{aligned}$

Svolgimento punto 5.

Si ricorre alla proprietà del quoziente $\boxed{5}$ , seguita dal prodotto $\boxed{4}$ e dalla potenza $\boxed{6}$ :

$\begin{aligned} &\log_{5}\!\Bigl(\tfrac{5}{61\sqrt{91}}\Bigr) =\log_{5}5-\bigl(\log_{5}61+\log_{5}\sqrt{91}\bigr) =1-\log_{5}61-\tfrac12\log_{5}91. \end{aligned}$

Svolgimento punto 6.

Vengono applicate la potenza $\boxed{6}$ e la proprietà del quoziente $\boxed{5}$ :

$\begin{aligned} &\log\!\Bigl(\tfrac{(\sqrt2+1)^{3}}{17}\Bigr) =\log(\sqrt2+1)^{3}-\log 17 =3\log(\sqrt2+1)-\log 17. \end{aligned}$

Esercizio 10 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Riscrivere ciascuna delle seguenti espressioni come un unico logaritmo, utilizzando le proprietà dei logaritmi. Si assuma che tutti gli argomenti siano positivi.

$\quad$

$\displaystyle \log 3 + \log 7 - \log 6$

$\displaystyle \log_{2} x - \log_{2}(x-1) + \log_{2} 5$

$\displaystyle \log_{3}\!\left(x^{2}+1\right) - \log_{3}(x-3)$

$\displaystyle 4\,\log_{2} a + \log_{2} b$

$\displaystyle \tfrac{1}{4}\log a - \tfrac{1}{3}\log b$

$\displaystyle \log(x-1) + \log(x-2) - \log(x+3)$

Svolgimento.

Si applicano nuovamente le proprietà

$\boxed{4}\;(\log_{b}(xy)=\log_{b}x+\log_{b}y),\quad \boxed{5}\;(\log_{b}\!\tfrac{x}{y}=\log_{b}x-\log_{b}y),\quad \boxed{6}\;(\log_{b}x^{k}=k\log_{b}x).$

Svolgimento punto 1.

Si applicano $\boxed{4}$ e $\boxed{5}$ .

$\begin{aligned} \log 3+\log 7-\log 6 & = \log(3\cdot7)-\log 6 && (\boxed{4}) \\ & = \log\!\Bigl(\tfrac{21}{6}\Bigr) = \log\!\Bigl(\tfrac{7}{2}\Bigr) && (\boxed{5}) \end{aligned}$

Svolgimento punto 2.

Si applicano $\boxed{4}$ e $\boxed{5}$ .

$\begin{aligned} &\log_{2}x-\log_{2}(x-1)+\log_{2}5 =\log_{2}(5x)-\log_{2}(x-1) \quad(\boxed{4})\\ &\phantom{\log_{2}x-\log_{2}(x-1)+\log_{2}5} =\log_{2}\!\Bigl(\tfrac{5x}{x-1}\Bigr) \quad(\boxed{5}). \end{aligned}$

Svolgimento punto 3.

Si applicano nuovamente $\boxed{4}$ e $\boxed{5}$ .

$\log_{3}(x^{2}+1)-\log_{3}(x-3) =\log_{3}\!\Bigl(\tfrac{x^{2}+1}{\,x-3}\Bigr)\quad(\boxed{5}).$

Svolgimento punto 4.

Si applicano $\boxed{6}$ e $\boxed{4}$ .

$\begin{aligned} 4\log_{2}a+\log_{2}b &=\log_{2}a^{4}+\log_{2}b \quad(\boxed{6}) \\ & =\log_{2}(a^{4}b) \quad(\boxed{4}). \end{aligned}$

Svolgimento punto 5.

Si impiegano $\boxed{6}$ e $\boxed{5}$ .

$\begin{aligned} \tfrac14\log a-\tfrac13\log b &=\log a^{1/4}-\log b^{1/3} \quad(\boxed{6})\\ &=\log\!\Bigl(\tfrac{a^{1/4}}{b^{1/3}}\Bigr) \quad(\boxed{5})\\ &=\log\!\Bigl(\tfrac{\sqrt[4]{a}}{\sqrt[3]{b}}\Bigr). \end{aligned}$

Svolgimento punto 6.

Si applicano $\boxed{4}$ e $\boxed{5}$ .

$\begin{aligned} &\log(x-1)+\log(x-2)-\log(x+3) =\log\!\bigl((x-1)(x-2)\bigr)-\log(x+3)\quad(\boxed{4})\\ &\phantom{\log(x-1)+\log(x-2)-\log(x+3)} =\log\!\Bigl(\tfrac{(x-1)(x-2)}{x+3}\Bigr)\quad(\boxed{5}). \end{aligned}$

Esercizio 11 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare il campo di esistenza (dominio) di ciascuna delle seguenti funzioni logaritmiche.

$\quad$

$y=\displaystyle\log\!\left(\frac{x^{2}-1}{\,x^{2}+4\,}\right)$

$y=\displaystyle\log_{2}\!\left(\frac{x^{3}}{x+2}\right)$

$y=\displaystyle\log\!\left(\frac{x}{\sqrt{x-2}}\right)$

$y=\displaystyle\log(x+5)+\log(3-x)$

$y=\displaystyle\frac{5}{\,\log\!\bigl(x^{2}+1\bigr)-1\,}$

$y=\displaystyle\frac{\log\!\bigl(x-\sqrt{x^{2}-x}\bigr)}{\log(x-3)}$

$y=\displaystyle\log\!\bigl(4^{x}-2\bigr)+\log\!\bigl(2^{x}-1\bigr)$

$y=\displaystyle\frac{1}{\log_{2}\!\Bigl(\log_{3}(x-1)\Bigr)}$

$y=\displaystyle\frac{\log(1+x)}{x-1}$

$y=\displaystyle\frac{\log(x+2)}{\log(x-3)}$

$y=\displaystyle\log_{3}(x-1)+\log_{\,\tfrac13}\!\bigl(x^{3}-6x^{2}+8x\bigr)$

$y=\displaystyle\log\!\bigl(3^{x^{2}}-81\bigr)$

Svolgimento punto 1.

Il dominio della funzione si ottiene imponendo

$\frac{x^{2}-1}{x^{2}+4}>0 .$

1. Studio del segno del denominatore $x^{2}+4>0$ per ogni $x\in\mathbb{R}$ ; dunque non influisce sul segno della frazione.

2. Studio del segno del numeratore

$x^{2}-1>0 \;\Longleftrightarrow\; x^{2}>1 \;\Longleftrightarrow\; x<-1\;\;\vee\;\;x>1.$

3. Tabella dei segni

$\begin{array}{c|cccccc} x & -\infty & & -1 & & 1 & +\infty \\ \hline x^{2}-1 & + & 0 & - & 0 & + & \\[-2pt] x^{2}+4 & + & + & + & + & + & \\ \hline \displaystyle\frac{x^{2}-1}{x^{2}+4} & + & 0 & - & 0 & + & \end{array}$

4. Conclusione L’argomento del logaritmo è strettamente positivo solo negli intervalli aperti in cui la frazione è $+$ , scartando i punti in cui vale $0$ .

$\boxcolorato{superiori}{S=(-\infty,-1)\,\cup\,(1,\infty).}$

Svolgimento punto 2.

Il dominio della funzione si ottiene imponendo

$\frac{x^{3}}{x+2}>0 .$

0. Premessa sul logaritmo La base è $2>0$ e diversa da $1$ ; pertanto non vi sono altre restrizioni oltre alla positività dell’argomento.

1. Studio del segno del denominatore $x+2=0$ per $x=-2$ .

$\begin{cases} x+2<0 &\text{se }x<-2,\\[2pt] x+2>0 &\text{se }x>-2. \end{cases}$

2. Studio del segno del numeratore $x^{3}=0$ per $x=0$ . Il segno di $x^{3}$ coincide con quello di $x$ :

$\begin{cases} x^{3}<0 &\text{se }x<0,\\[2pt] x^{3}>0 &\text{se }x>0. \end{cases}$

3. Tabella dei segni

$\begin{array}{c|ccc} x \in & (-\infty,2) & (-2,0) & (0,+\infty)\\ \hline x^{3} & - & - & + \\[-2pt] x+2 & - & + & + \\ \hline \displaystyle\frac{x^{3}}{x+2} & + & - & + \\ \end{array}$

4. Conclusione L’argomento del logaritmo è strettamente positivo negli intervalli

$(-\infty,-2)\quad\text{e}\quad(0,\infty),$

mentre nei punti $x=-2$ (denominatore nullo) e $x=0$ (argomento nullo) la funzione non è definita.

$\boxcolorato{superiori}{S=(-\infty,-2)\,\cup\,(0,\infty).}$

Svolgimento punto 3.

Il dominio della funzione si ottiene imponendo

$\frac{x}{\sqrt{x-2}}>0 .$

1. Condizione sul radicando e sul denominatore Affinché la radice quadrata sia definita nei reali occorre $x-2\ge 0$ , ossia $x\ge 2$ . Poiché la radice compare al denominatore, bisogna inoltre richiedere $\sqrt{x-2}\ne 0$ , vale a dire escludere il punto $x=2$ . Ne consegue

$x>2.$

2. Positività dell’argomento del logaritmo Con $x>2$ il numeratore $x$ è positivo e il denominatore $\sqrt{x-2}$ è anch’esso positivo, perciò la frazione risulta strettamente positiva:

$\frac{x}{\sqrt{x-2}}>0 \qquad\text{per ogni }x>2.$

3. Conclusione Le uniche restrizioni provengono dunque dal radicando e dal denominatore. Il dominio finale è l’intervallo aperto

$\boxcolorato{superiori}{S=(2,\infty).}$

Svolgimento punto 4.

Il dominio della funzione si ottiene imponendo la positività di ciascun argomento di logaritmo:

$\log(x+5)+\log(3-x)\,, \qquad \Longrightarrow \begin{cases} x+5>0,\\ 3-x>0. \end{cases}$

1. Studio del primo argomento $x+5>0 \ \Longleftrightarrow\ x>-5.$

2. Studio del secondo argomento $3-x>0 \ \Longleftrightarrow\ x<3.$

3. Intersezione delle condizioni Entrambe le disuguaglianze devono valere simultaneamente; si ottiene

$-5<x<3.$

4. Conclusione Il dominio della funzione, dato dall’intervallo aperto in cui entrambi gli argomenti di logaritmo risultano strettamente positive, è

$\boxcolorato{superiori}{S=(-5,\,3).}$

Svolgimento punto 5.

Il dominio della funzione

$y=\frac{5}{\log\!\bigl(x^{2}+1\bigr)-1}$

si determina verificando due condizioni indipendenti: la positività dell’argomento del logaritmo e il non annullamento del denominatore.

1. Esistenza del logaritmo Occorre

$x^{2}+1>0\qquad\forall\,x\in\mathbb{R},$

condizione sempre soddisfatta perché la somma di un quadrato e di $1$ non può mai annullarsi né diventare negativa.

2. Non annullamento del denominatore Si richiede

$\log\!\bigl(x^{2}+1\bigr)-1\ne 0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; \log\!\bigl(x^{2}+1\bigr)\ne 1.$

Assumendo, come d’uso, che $\log$ indichi il logaritmo naturale (base $e$ ), la disuguaglianza precedente equivale a

$x^{2}+1\ne e \;\;\Longleftrightarrow\;\; x^{2}\ne e-1 \;\;\Longleftrightarrow\;\; x\ne\pm\sqrt{\,e-1\,}.$

3. Conclusione Poiché la prima condizione non impone alcuna esclusione ulteriore, l’unica restrizione proviene dal punto 2. Pertanto il dominio risulta tutto l’asse reale ad eccezione delle due ascisse in cui il denominatore si annulla:

$\boxcolorato{superiori}{\,S=\mathbb{R}\setminus\bigl\{-\sqrt{e-1},\;\sqrt{e-1}\bigr\}\,.}$

Osservazione. Se si adotta invece il logaritmo in base $10$ , la stessa procedura conduce alla condizione $x^{2}+1\ne 10$ , ossia $x\ne \pm 3$ .

Svolgimento punto 6.

Si voglia determinare il dominio della funzione

$y=\frac{\log\!\bigl(x-\sqrt{x^{2}-x}\bigr)}{\log\!\bigl(x-3\bigr)}.$

Il problema si affronta esaminando in sequenza le tre condizioni di definibilità:

$\boxed{ \begin{aligned} &\text{(i)} && x^{2}-x\ge 0 \quad &&\bigl(\text{radicando}\bigr),\\[2pt] &\text{(ii)}&& x-\sqrt{x^{2}-x}>0 \quad &&\bigl(\text{argomento di } \log \text{ al numeratore}\bigr),\\[2pt] &\text{(iii)}&& x-3>0,\;\; \log(x-3)\ne 0 \quad &&\bigl(\text{argomento di } \log \text { al denominatore e non-annullamento}\bigr). \end{aligned}}$

1. Radice quadrata $(\text{i})$ ; La disequazione $x^{2}-x\ge 0$ si fattorizza in $x(x-1)\ge 0$ , da cui si ricava che i fattori devono avere segno concorde e quindi

$x\le 0\quad\text{oppure}\quad x\ge 1.$

2. Argomento del logaritmo al numeratore $(\text{ii})$ ; Per ogni $x> 1$ si ha

$x-\sqrt{x^{2}-x}=x\Bigl[1-\sqrt{1-\tfrac{1}{x}}\Bigr]>0,$

poiché l’espressione tra parentesi quadre è strettamente compresa tra $0$ e $1$ , in quanto il termine $0<\frac{1}{x}< 1$ e quindi $0<\sqrt{1-\frac{1}{x}}<1$ . Pertanto, nell’intervallo $x> 1$ la condizione (ii) risulta automaticamente soddisfatta. Per $x=1$ l’argomento del logaritmo si annulla e quindi tale valore va escluso. (Nell’intervallo $x\le 0$ essa invece fallisce, ma quell’intervallo verrà comunque escluso dalla condizione successiva.)

3. Argomento e non-annullamento del logaritmo al denominatore $(\text{iii})$ ; Richiediamo

$x-3>0 \;\Longrightarrow\; x>3, \qquad \text{e contemporaneamente}\qquad \log(x-3)\ne 0 \;\Longrightarrow\; x-3\ne 1 \;\Longrightarrow\; x\ne 4.$

4. Intersezione delle condizioni. L’unione delle prime due condizioni dà $x> 1$ ; intersecando con $x>3$ si ottiene $x>3$ . Infine si elimina il valore $x=4$ per evitare l’annullamento del denominatore.

$\boxcolorato{superiori}{S=(3,4)\,\cup\,(4,\infty).}$

Conclusione. La funzione è definita in tutti i reali maggiori di $3$ , tranne nel punto $x=4$ dove il denominatore si annulla.

Svolgimento punto 7.

Il dominio della funzione

$y=\log\!\bigl(4^{x}-2\bigr)+\log\!\bigl(2^{x}-1\bigr)$

si ottiene imponendo che entrambi gli argomenti di logaritmo siano strettamente positivi:

$\begin{cases} 4^{x}-2>0,\\[4pt] 2^{x}-1>0. \end{cases}$

1. Prima disuguaglianza

$4^{x}-2>0 \;\Longleftrightarrow\; 4^{x}>2 \;\Longleftrightarrow\; 4^{x}>4^{1/2} \;\Longleftrightarrow\; x>\tfrac12.$

2. Seconda disuguaglianza

$2^{x}-1>0 \;\Longleftrightarrow\; 2^{x}>1 \;\Longleftrightarrow\; x>0.$

3. Intersezione delle condizioni Affinché entrambe le disuguaglianze siano soddisfatte, è necessario è sufficiente che

$x>\tfrac12 \quad\text{(poiché }\tfrac12>0\text{)}.$

4. Conclusione Il dominio della funzione è quindi l’intervallo aperto

$\boxcolorato{superiori}{S=\bigl(\tfrac12,\infty\bigr).}$

Osservazione. La scelta di $\log$ come logaritmo naturale (base $e$ ) o in base $10$ non modifica il risultato, giacché la condizione di positività degli argomenti è indipendente dalla base (purché quest’ultima sia $>0$ e diversa da $1$ ).

Svolgimento punto 8.

Il dominio della funzione

$y=\frac{1}{\log_{2}\!\bigl(\,\log_{3}(x-1)\bigr)}$

si determina verificando in cascata le tre condizioni di definibilità richieste dai due logaritmi concatenati e dal denominatore non nullo.

1. Esistenza del logaritmo interno

$x-1>0 \;\Longrightarrow\; x>1.$

2. Positività dell’argomento del logaritmo esterno Occorre che

$\log_{3}(x-1)>0 \;\Longleftrightarrow\; x-1>1 \;\Longleftrightarrow\; x>2.$

(In effetti, l’uguaglianza $\log_{3}(x-1)=0$ varrebbe solo in $x=2$ , che però è già escluso perché richiediamo stretta positività.)

3. Non annullamento del denominatore Bisogna evitare che

$\log_{2}\!\bigl(\,\log_{3}(x-1)\bigr)=0 \;\Longleftrightarrow\; \log_{3}(x-1)=1 \;\Longleftrightarrow\; x-1=3 \;\Longleftrightarrow\; x=4.$

4. Intersezione delle condizioni La condizione (2) restringe l’insieme a $x>2$ ; la condizione (3) impone di escludere il punto $x=4$ . Pertanto il dominio finale è l’intervallo dei reali maggiori di $2$ con l’unica lacuna in $x=4$ :

$\boxcolorato{superiori}{\,S=(2,\,4)\,\cup\,(4,\,\infty).\,}$

Svolgimento punto 9.

Il dominio della funzione

$y=\frac{\log(1+x)}{\,x-1\,}$

si ricava imponendo in modo congiunto:

$\boxed{ \begin{aligned} &\text{(i)} && 1+x>0 \quad &&\bigl(\text{argomento del logaritmo}\bigr),\\[2pt] &\text{(ii)}&& x-1\ne 0 \quad &&\bigl(\text{denominatore non nullo}\bigr). \end{aligned}}$

1. Condizione sul logaritmo $(\text{i}).$

$1+x>0 \;\Longleftrightarrow\; x>-1.$

2. Condizione sul denominatore $(\text{ii}).$

$x\ne 1.$

3. Intersezione delle condizioni L’insieme $x>-1$ esclude già tutti i valori inferiori a $-1$ ; dalla condizione (ii) si elimina inoltre il punto $x=1$ . Ne risulta

$x>-1,\;x\ne 1 \quad\Longrightarrow\quad x\in(-1,1)\;\cup\;(1,\infty).$

4. Conclusione Il dominio della funzione è dunque

$\boxcolorato{superiori}{\,S=(-1,\,1)\,\cup\,(1,\,\infty)\,.}$

Nota. La scelta della base del logaritmo (naturale, in base $10$ o altra base positiva diversa da $1$ ) non incide sul risultato, poiché la condizione di positività dell’argomento rimane invariata.

Svolgimento punto 10.

Il dominio della funzione

$y=\frac{\log(x+2)}{\log(x-3)}$

si determina imponendo congiuntamente:

$\boxed{ \begin{aligned} &\text{(i)} && x+2>0 \quad &&\bigl(\text{argomento del logaritmo al numeratore}\bigr),\\[2pt] &\text{(ii)}&& x-3>0 \quad &&\bigl(\text{argomento del logaritmo al denominatore}\bigr),\\[2pt] &\text{(iii)}&& \log(x-3)\ne 0 \quad &&\bigl(\text{denominatore non nullo}\bigr). \end{aligned}}$

1. Condizione (i)

$x+2>0 \;\Longleftrightarrow\; x>-2.$

2. Condizione (ii)

$x-3>0 \;\Longleftrightarrow\; x>3.$

3.\ Condizione (iii)

$\log(x-3)\ne 0 \;\Longleftrightarrow\; x-3\ne 1 \;\Longleftrightarrow\; x\ne 4.$

4. Intersezione delle condizioni L’intervallo proveniente dalle prime due condizioni è $x>3$ ; dal punto (iii) si elimina il valore $x=4$ . Si ottiene perciò

$x\in(3,4)\;\cup\;(4,\infty).$

5. Dominio finale

$\boxcolorato{superiori}{\,S=(3,\,4)\,\cup\,(4,\,\infty)\,.}$

Svolgimento punto 11.

Il dominio della funzione

$y=\log_{3}(x-1)+\log_{\tfrac13}\!\bigl(x^{3}-6x^{2}+8x\bigr)$

si ottiene imponendo congiuntamente la stretta positività di ciascun argomento di logaritmo (le basi $3>1$ e $\tfrac13\in(0,1)$ sono ammissibili, quindi non impongono altri vincoli):

$\boxed{\; \begin{cases} x-1>0,\\[6pt] x^{3}-6x^{2}+8x>0. \end{cases}}$

1. Primo argomento

$x-1>0 \;\Longleftrightarrow\; x>1.$

2. Secondo argomento Scomponiamo il polinomio:

$x^{3}-6x^{2}+8x =x\!\bigl(x^{2}-6x+8\bigr) =x(x-2)(x-4).$

Gli zeri sono $x=0,\,2,\,4$ . Costruiamo la tabella dei segni:

$\begin{array}{c|cccc} x \in & (-\infty,0) & (0,2) & (2,4) & (4,+\infty)\\ \hline x & - & + & + & + \\[-2pt] x-2 & - & - & + & +\\[-2pt] x-4 & - & - & - & + \\ \hline x(x-2)(x-4) & - & + & - & + \end{array}$

Il prodotto è positivo per

$x\in(0,2)\;\cup\;(4,\infty).$

3. Intersezione dei vincoli

$(0,2)\cap(1,\infty)=(1,2),\qquad (4,\infty)\cap(1,\infty)=(4,\infty).$

4. Dominio finale

$\boxcolorato{superiori}{\,S=(1,\,2)\,\cup\,(4,\,\infty).\,}$

Il dominio della funzione

$y=\log\!\bigl(3^{x^{2}}-81\bigr)$

si ottiene imponendo che l’argomento del logaritmo sia strettamente positivo:

$3^{x^{2}}-81>0.$

Svolgimento punto 12.

1. Riduzione dell’inequazione

$3^{x^{2}}-81>0 \;\Longleftrightarrow\; 3^{x^{2}}>81 \;\Longleftrightarrow\; 3^{x^{2}}>3^{4},$

poiché $81=3^{4}$ .

2. Confronto di potenze a stessa base La funzione $3^{t}$ è strettamente crescente per $t\in\mathbb{R}$ ; da ciò segue immediatamente

$x^{2}>4.$

3. Soluzione dell’inequazione quadratica

$x^{2}>4 \;\Longleftrightarrow\; x<-2\;\;\vee\;\;x>2.$

4. Dominio conclusivo

$\boxcolorato{superiori}{S=(-\infty,-2)\,\cup\,(2,\infty).}$

Esercizio 12 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere l’equazione

$\log_{\frac{1}{49}} x = \frac{1}{4} .$

Svolgimento.

Partiamo dall’equazione data:

$\log_{\frac{1}{49}} x = \frac{1}{4}$

Riscriviamo l’equazione in forma esponenziale utilizzando la definizione di logaritmo:

$x = \left( \frac{1}{49} \right)^{\frac{1}{4}}.$

Poiché $\frac{1}{49} = 7^{-2}$ , possiamo scrivere:

$\boxcolorato{superiori}{ x = \left( 7^{-2} \right)^{\frac{1}{4}} = 7^{-\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{7}}{7}. }$

Esercizio 13 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$\log(x - 1) - \log(x + 2) = \log 3.$

Svolgimento.

Poiché il logaritmo richiede argomento positivo, occorre innanzitutto che

$\begin{cases} x-1>0 \\ x+2>0 \end{cases} \iff x>1.$

Applicando la proprietà $\log a-\log b=\log\!\bigl(\tfrac{a}{b}\bigr)$ si ottiene

$\log\!\Bigl(\tfrac{x-1}{x+2}\Bigr)=\log 3,$

e, poiché il logaritmo è funzione iniettiva (a parità di base), ne segue

$\frac{x-1}{x+2}=3 \iff x-1 = 3x+6 \iff 2x=-7 \iff x=-\frac72$

Tale valore, tuttavia, non appartiene al dominio $x>1$ , pertanto l’equazione non possiede soluzioni reali:

$\boxcolorato{superiori}{ S=\emptyset.}$

Esercizio 14 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali dell’equazione:

$\log 7 + \log(x - 3) - \log x = \log 14 - \log(x + 1).$

Svolgimento.

Poiché i logaritmi richiedono argomenti positivi, deve valere

$\begin{cases} x-3>0 \\ x>0 \\ x+1>0 \end{cases} \iff x>3.$

Applicando le proprietà $\log a-\log b=\log\!\bigl(\tfrac{a}{b}\bigr)$ e $\log a+\log b=\log(ab)$ , si ottiene

$\log\!\Bigl(\frac{7(x-3)(x+1)}{x}\Bigr)=\log 14.$

L’iniettività del logaritmo dà

$\frac{7(x-3)(x+1)}{x}=14.$

Dividendo per $7$ :

$\frac{(x-3)(x+1)}{x}=2 \quad\Longrightarrow\quad (x-3)(x+1)=2x.$

Sviluppando e ordinando i termini:

$x^{2}-4x-3=0.$

Le soluzioni sono

$x=\frac{4\pm\sqrt{16+12}}{2}=2\pm\sqrt7.$

Il valore $2-\sqrt7\approx-0{,}65$ è fuori dal dominio $x>3$ , perciò va scartato; rimane solo $x=2+\sqrt7$ .

$\boxcolorato{superiori}{\,S=\{\,2+\sqrt7\,\}}$

Esercizio 15 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$\log(5x - 2) + \log(x + 3)^2 = \log 7 + \log(x + 3) + 2\log(5x - 2).$

Svolgimento.

Si consideri l’equazione

$\log(5x-2)+\log\bigl((x+3)^2\bigr)=\log 7+\log(x+3)+2\log(5x-2).$

Perché i logaritmi siano definiti occorre che

$\begin{cases} 5x-2>0 \\ x+3>0 \end{cases} \iff x>\frac25.$

Portando tutti i termini al primo membro e applicando le proprietà $\log a+\log b=\log(ab)$ e $\log a-\log b=\log\!\bigl(\tfrac{a}{b}\bigr)$ si ottiene

$\log\!\Bigl(\frac{(5x-2)(x+3)^2}{7(x+3)(5x-2)^2}\Bigr)=0, \qquad\text{ossia}\qquad \log\!\Bigl(\frac{x+3}{7(5x-2)}\Bigr)=0.$

Poiché $\log y=0$ implica $y=1$ , si ha

$\frac{x+3}{7(5x-2)}=1 \;\Longrightarrow\; x+3=35x-14 \;\Longrightarrow\; 34x=17 \;\Longrightarrow\; x=\frac12.$

Il valore ottenuto verifica la condizione $x>\frac25$ ; l’equazione ammette dunque la sola soluzione reale

$\boxcolorato{superiori}{ S=\left\{\frac12\right\}}.$

Esercizio 16 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$1 + \log_3(x - 2) + \log_3(x + 2) = \log_3 5 + \log_3 x.$

Svolgimento.

Affinché i logaritmi siano definiti occorre

$\begin{cases} x-2>0 \\ x+2>0 \\ x>0 \end{cases} \iff x>2.$

Usando $1=\log_{3}3$ e la regola $\log_{3}a+\log_{3}b=\log_{3}(ab)$ , il membro sinistro diventa

$\log_{3}3+\log_{3}\bigl[(x-2)(x+2)\bigr] =\log_{3}\!\bigl[3(x^{2}-4)\bigr],$

mentre il destro, con la stessa proprietà, è $\log_{3}(5x)$ . L’equazione si riduce quindi a

$\log_{3}\!\bigl[3(x^{2}-4)\bigr]=\log_{3}(5x),$

e, per l’iniettività del logaritmo,

$3\bigl(x^{2}-4\bigr)=5x\quad\Longrightarrow\quad 3x^{2}-5x-12=0.$

La risoluzione del quadratico fornisce

$x=\frac{5\pm\sqrt{25+144}}{6} =\frac{5\pm13}{6} \;\Longrightarrow\; x=3\;\text{oppure}\;x=-\frac43.$

Il valore $-\tfrac43$ non soddisfa la condizione $x>2$ , mentre $x=3$ sì; pertanto l’insieme delle soluzioni reali è

$\boxcolorato{superiori}{S=\{\,3\,\}}.$

Esercizio 17 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$\log_4(x^2 + 2) - \log_4(x^2 - 1) = \log_4 5 - \log_4(x + 1).$

Svolgimento.

Si parte dall’equazione

$\log_{4}(x^{2}+2)-\log_{4}(x^{2}-1)=\log_{4}5-\log_{4}(x+1).$

I logaritmi richiedono argomenti positivi:

$\begin{cases} x^{2}-1>0 \\ x+1>0 \end{cases} \iff \begin{cases} x<-1 \;\vee\; x>1 \\ x>-1 \end{cases} \iff x>1.$

Con la regola $\log_{4}a-\log_{4}b=\log_{4}(a/b)$ l’equazione diventa

$\log_{4}\!\Bigl(\tfrac{x^{2}+2}{x^{2}-1}\Bigr)=\log_{4}\!\Bigl(\tfrac{5}{x+1}\Bigr),$

e l’iniettività del logaritmo consente di uguagliare gli argomenti:

$\frac{x^{2}+2}{x^{2}-1}=\frac{5}{x+1}.$

Il prodotto incrociato fornisce

$\begin{aligned} (x^{2}+2)(x+1)=5(x^{2}-1) & \iff (x^{2}+2)(x+1) - 5(x-1)(x+1)=0 \\ & \iff (x+1)(x^2-5x+7)=0. \end{aligned}$

Questo polinomio ha come unica radice reale $x=-1$ , mentre il polinomio $x^2-5x+7$ ha radici complesse, come si vede dal segno del discriminante.

L’unico valore reale individuato, però, non appartiene all’intervallo ammesso $x>1$ . Di conseguenza l’equazione non possiede soluzioni reali e l’insieme delle soluzioni risulta

$\boxcolorato{superiori}{S=\emptyset.}$

Esercizio 18 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$1+\frac{\log_{2}(x+1)}{\log_{2}x} \;=\; \frac{1}{\log_{2}x}.$

Svolgimento.

Dalle condizioni di esistenza dei logaritmi e dal fatto che il denominatore delle frazioni non può annullarsi si ottiene il sistema di condizioni di esistenza

$\begin{cases} x>0 \\ x+1>0 \\ \log_2 x \neq 0 \end{cases} \iff x \in (0,1) \cup (1,+\infty).$

Sottraendo $1$ da entrambi i membri e ponendo a comune denominatore si ottiene

$\frac{\log_{2}(x+1)}{\log_{2}x} \;=\; \frac{1-\log_{2}x}{\log_{2}x}.$

Poiché $\log_{2}x\neq0$ , si può moltiplicare ambo i membri per tale quantità ricavando

$\log_{2}(x+1)=1-\log_{2}x.$

Portando tutto al primo membro e sfruttando la proprietà $\log_{2}a+\log_{2}b=\log_{2}(ab)$ si verifica che

$\log_{2}(x+1)+\log_{2}x=\log_{2}[x(x+1)]=1,$

da cui segue l’uguaglianza tra gli argomenti:

$x(x+1)=2 \;\Longrightarrow\; x^{2}+x-2=0.$

La quadratica fornisce le soluzioni potenziali

$x=\frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\;1\quad\text{o}\quad -2.$

Tuttavia $x=1$ è escluso perché annulla il denominatore ( $\log_{2}1=0$ ), mentre $x=-2$ viola la condizione $x>0$ . Di conseguenza l’equazione non possiede soluzioni reali e

$\boxcolorato{superiori}{S=\emptyset.}$

Esercizio 19 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$-\log_{\,\frac13}6+\log_{5}(x+1)=\log_{5}(5x).$

Svolgimento.

Dal momento che $\log_{\,\frac13}6 =-\log_3 6$ , l’equazione si riscrive quindi come

$\log_{3}6+\log_{5}(x+1)=\log_{5}(5x).$

Osserviamo che $\log_{5}(5x)=\log_{5}5+\log_{5}x=1+\log_{5}x$ ; portando $\log_{5}x$ al primo membro otteniamo

$\log_{5}(x+1)-\log_{5}x=1-\log_{3}6.$

A sinistra compare $\log_{5}\!\bigl(\tfrac{x+1}{x}\bigr)=\log_{5}\!\bigl(1+\tfrac1x\bigr),$ mentre a destra, usando $\log_{3}6=1+\log_{3}2$ , si ha $1-\log_{3}6=-\log_{3}2<0$ . Dunque l’equazione richiede

$\log_{5}\!\Bigl(1+\frac1x\Bigr)=-\log_{3}2.$

Per il dominio dobbiamo avere $x>0$ ; con tale ipotesi $1+\frac1x>1$ e quindi $\log_{5}\!\bigl(1+\tfrac1x\bigr)>0$ . Il membro sinistro, pertanto, è strettamente positivo, mentre il destro è strettamente negativo: l’uguaglianza non può realizzarsi.

Ne segue che l’equazione non ammette soluzioni reali, per cui

$\boxcolorato{superiori}{S=\emptyset.}$

Esercizio 20 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$3\log_{13}(5 - x) + \log_{13} 11 = \log_{13}(x + 3) + 2\log_{13}(5 - x).$

Svolgimento.

Partiamo dall’equazione

$3\log_{13}(5-x)+\log_{13}11=\log_{13}(x+3)+2\log_{13}(5-x).$

Il logaritmo richiede argomenti positivi, quindi

$\begin{cases} 5-x>0 \\ x+3>0 \end{cases} \iff x \in (-3,5).$

Portando i termini omogenei sullo stesso lato si ottiene

$3\log_{13}(5-x)-2\log_{13}(5-x) =\log_{13}(x+3)-\log_{13}11,$

ossia

$\log_{13}(5-x)=\log_{13}\!\Bigl(\tfrac{x+3}{11}\Bigr).$

L’iniettività del logaritmo (stessa base) permette di eguagliare gli argomenti:

$5-x=\frac{x+3}{11}.$

Moltiplicando per $11$ e raccogliendo:

$55-11x=x+3 \quad\Longrightarrow\quad 55-3=12x \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{52}{12}=\frac{13}{3}.$

Il valore $x=\frac{13}{3}\approx4{,}33$ appartiene all’intervallo $(-3,\,5)$ ; rispetta pertanto tutte le condizioni di esistenza.

$\boxcolorato{superiori}{ S=\left\{\frac{13}{3}\right\}.}$

Esercizio 21 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$\log_{\,\frac14}x + 3\,\log_{4}x = 4 .$

Svolgimento.

Poiché $\log_{\,\frac14}x=\dfrac{\log x}{\log(\tfrac14)}=-\dfrac{\log x}{\log4}=-\log_{4}x$ , il primo termine può essere riscritto cambiando base; l’equazione diventa allora

$-\log_{4}x + 3\log_{4}x = 4,$

ossia $2\log_{4}x = 4$ . Da qui

$\log_{4}x = 2 \quad\Longrightarrow\quad x = 4^{2} = 16 .$

Il valore trovato soddisfa la condizione $x>0$ richiesta dai logaritmi, quindi l’unica soluzione reale è

$\boxcolorato{superiori}{ S = \{16\}.}$

Esercizio 22 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$\log \bigl(e^{x} + 1\bigr) \;=\; \log \bigl(e^{2x} - 1\bigr).$

Svolgimento.

Affinché i due logaritmi risultino definiti occorre che i loro argomenti siano positivi: il primo lo è per ogni $x\in\mathbb R$ , mentre il secondo richiede $e^{2x}-1>0$ , cioè $x>0$ . Pertanto si lavora nell’intervallo $x>0$ . In tale dominio la funzione logaritmo è iniettiva, per cui l’uguaglianza si traduce direttamente in

(1) $\begin{equation*} e^{x}+1 = e^{2x}-1. \end{equation*}$

Osservando che $e^{2x}-1=(e^x-1)(e^x+1)$ e semplificando il fattore $e^x+1$ (lecito in quanto diverso da $0$ ), l’equazione è equivalente a

$1 = e^x-1 \iff e^x=2$

ovvero

$\boxcolorato{superiori}{x=\log 2.}$

Alternativamente, si poteva riarrangiare (1) come segue:

$e^{2x}-e^{x}-2 = 0.$

Ponendo $t=e^{x}\;(\,t>1)$ l’equazione diventa un semplice quadratico,

$t^{2}-t-2 = 0,$

che si fattorizza in $(t-2)(t+1)=0$ . Il termine $t=-1$ va scartato poiché incompatibile con $t>1$ ; resta $t=2$ , da cui $e^{x}=2$ e quindi $x=\log 2$ , valore che rispetta la condizione iniziale $x>0$ . Non emergono altre restrizioni, perciò l’insieme delle soluzioni è

$\boxcolorato{superiori}{ S=\{\,\log 2\,\}.}$

Esercizio 23 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere l’equazione

$\log_2 x - \log_2 e = 2.$

Svolgimento.

Il dominio dell’equazione risulta:

$\mathcal{D} = \{x \in \mathbb{R}: x > 0 \land x \neq 1\}.$

Effettuando il cambio di base sul secondo termine del primo membro e passando al logaritmo in base $2$ si ha:

$\log_2 x - \frac{\log_2 e}{\log_2 x} = 2.$

Ponendo $\log_2 x = t$ si ottiene

$\begin{aligned} t^2 - 2t - \log_2 e = 0 \iff t_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4\log_2 e}}{2} = 1 \pm \sqrt{\log_2 (2e)}. \end{aligned}$

Pertanto:

$x_{1,2} = 2^{1 \pm \sqrt{\log_2 (2e)}}.$

Entrambe le soluzioni ricadono nel dominio dell’equazione, infatti:

$x_2 = 2^{1 + \sqrt{\log_2 (2e)}} > 2; \quad 0 < x_1 = 2^{1 - \sqrt{\log_2 (2e)}} = \frac{1}{2^{\sqrt{\log_2 (2e)} - 1}} < 1.$

Ne segue che le soluzioni sono

$\boxcolorato{superiori}{ x_{1,2} = 2^{1 \pm \sqrt{\log_2 (2e)}}. }$

Esercizio 24 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Quali sono le soluzioni reali della seguente disequazione?

$\log^2(x)+\log(x^2)-8\geq 0.$

Svolgimento.

La disequazione data ha senso solo per $x>0$ , che è dove il logaritmo esiste.

Osserviamo che $\log(x^2)=2\log(x)$ , per cui ponendo $z:=\log(x)$ si ottiene

$z^2+2z-8\geq 0.$

Le soluzioni dell’equazione $z^2+2z-8=0$ sono

$z_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-(-8)}}{1}= -1\pm 3 \quad \implies \quad z_1=-4 \qquad \makebox{e} \qquad z_2=2.$

I valori di $z$ per cui $z^2+2z-8$ è non negativo sono quindi $z\leq -4$ , $z\geq 2$ . Adesso sostituiamo di nuovo $\log(x)$ al posto di $z$ e risolviamo le due diesquazioni:

$\log(x)\leq -4\implies x\leq e^{-4} \qquad \makebox{e} \qquad \log(x)\geq 2 \implies x\geq e^2.$

Quindi le soluzioni sono

$\boxcolorato{superiori}{0< x\leq \frac{1}{e^4} \quad \vee \quad x\geq e^2.}$

Esercizio 25 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere l’equazione

$(\log_3 x)^2 - \log_3 x = 1 .$

Svolgimento.

Poniamo $y = \log_3 x$ , così che l’equazione diventi:

$y^2 - y - 1 = 0.$

Risolvendo l’equazione di secondo grado:

$y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \implies y_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \quad y_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}.$

Ora, poiché $y = \log_3 x$ , otteniamo:

$\log_3(x)=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \implies x=3^{\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}}.$

Pertanto, l’equazione ha le due soluzioni reali

$\boxcolorato{superiori}{x=3^{\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}}.}$

Esercizio 26 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$\frac{3}{\log_{2}x-1}\;+\;\frac{2}{\log_{2}x+1}=2,$

Svolgimento.

Consideriamo l’equazione

$\frac{3}{\log_{2}x-1}\;+\;\frac{2}{\log_{2}x+1}=2.$

Perché l’espressione sia definita devono verificarsi contemporaneamente:

$\begin{cases} x>0 \\ \log_2 x - 1 \neq 0 \\ \log_2 x +1 \neq 0 \end{cases} \iff x \in (0,\tfrac12)\,\cup\,(\tfrac12,2)\,\cup\,(2,\infty).$

Ponendo $t=\log_{2}x$ l’equazione diventa

$\frac{3}{t-1}+\frac{2}{t+1}=2,$

che, moltiplicata per $(t-1)(t+1)$ , conduce al quadratico $2t^{2}-5t-3=0$ e fornisce $t=3$ oppure $t=-\tfrac12$ . Invertendo la sostituzione si ottengono le condizioni

$\log_2 x = 3 \; \vee \; \log_2 x =-\frac{1}{2} \iff x=2^{3}=8,\; \vee \; x=2^{-1/2}=\tfrac{\sqrt2}{2}.$

Entrambi i valori appartengono al dominio, dunque le soluzioni sono

$\boxcolorato{superiori}{ S=\Bigl\{\frac{\sqrt2}{2},\;8\Bigr\}.}$

Esercizio 27 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$\frac{3}{\log x} + \frac{\log x}{\log x + 1} = 2 + \frac{1}{\log x}.$

Svolgimento.

L’equazione

$\frac{3}{\log x}+\frac{\log x}{\log x+1}=2+\frac{1}{\log x},$

è definita solo per $x>0$ con l’esclusione dei punti in cui compaiono zeri al denominatore, cioè sotto le condizioni

$\begin{cases} x>0 \\ \log x \neq 0 \\ \log x + 1 \neq 0 \end{cases} \iff x \in (0,e^{-1}) \cup (e^{-1},1) \cup (1,+\infty).$

Per semplificare si pone $t=\log x$ , trasformando l’equazione in

$\frac{3}{t}+\frac{t}{t+1}=2+\frac{1}{t}, \quad t\in\mathbb{R}\setminus\{-1,0\}.$

Portando tutto a primo membro rimane

$\frac{2}{t}+\frac{t}{t+1}-2=0 \qquad\Longrightarrow\qquad 2(t+1)+t^{2}-2t(t+1)=0$

dopo aver moltiplicato per $t(t+1)$ per eliminare i denominatori. Riducendo i termini si ottiene l’espressione $2-t^{2}=0$ , ossia

$t^{2}=2 \quad\Longrightarrow\quad t=\pm\sqrt{2}.$

Entrambi i valori sono ammessi, poiché non coincidono né con $-1$ né con $0$ . Tornando alla variabile originaria si ricava

$x=e^{t}=e^{\sqrt{2}}\quad\text{oppure}\quad x=e^{-\sqrt{2}}.$

Insieme delle soluzioni reali:

$\boxcolorato{superiori}{ S=\bigl\{\,e^{\sqrt{2}},\;e^{-\sqrt{2}}\,\bigr\}.}$

Esercizio 28 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$\frac{3}{\log_2 x (1 + \log_2 x)} = 2 - \frac{3}{\log_2 x}.$

Svolgimento.

Devono essere positivi gli argomenti dei logaritmi e diversi da zero i denominatori:

$\begin{cases} x>0 \\ \log_2 x \neq 0 \\ 1+\log_2 x \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x>0 \\ x \neq 1 \\ x \neq \frac{1}{2} \end{cases} \iff x \in \left( 0, \frac{1}{2} \right ) \cup \left (\frac{1}{2},1\right ) \cup (1,+\infty).$

Poniamo $t=\log_{2}x$ ; con $t\neq0,-1$ l’equazione diventa

$\frac{3}{t(1+t)}=2-\frac{3}{t}.$

Moltiplicando ambo i membri per $t(1+t)$ otteniamo

$3=\left (2-\frac{3}{t}\right )\,t(1+t)=(2t-3)(1+t)=2t^{2}-t-3,$

da cui

$2t^{2}-t-6=0.$

Il discriminante è $1+48=49$ e fornisce

$t=\frac{1\pm7}{4}\quad\Longrightarrow\quad t_{1}=2,\qquad t_{2}=-\frac32,$

entrambi ammessi perché diversi da $0$ e da $-1$ .

$x=2^{t}\;\Longrightarrow\; \begin{cases} t=2 &\Rightarrow\; x=2^{2}=4,\\[4pt] t=-\dfrac32 &\Rightarrow\; x=2^{-3/2}=\dfrac1{2\sqrt2}. \end{cases}$

Entrambi i valori appartengono al dominio $D$ ; dunque l’insieme delle soluzioni reali è

$\boxcolorato{superiori}{\,S=\Bigl\{\dfrac1{2\sqrt2},\,4\Bigr\}\,.}$

Esercizio 29 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$\sqrt{\bigl(\log_{2}x\bigr)^{2}+\log_{2}x-2}= \log_{\frac12}x-2.$

Svolgimento.

Poniamo $t=\log_{2}x$ ; l’equazione diventa

$\sqrt{(t+2)(t-1)}=-\,t-2.$

I logaritmi impongono $x>0$ , quindi $t\in\mathbb{R}$ . Il radicando richiede $(t+2)(t-1)\ge0$ , ossia $t\le-2$ oppure $t\ge1$ ; inoltre la radice quadrata è non-negativa, perciò anche $-t-2$ dev’essere non negativo, il che restringe a $t\le-2$ . Nell’intervallo ammesso entrambe le parti sono non-negative e si può elevare al quadrato:

$(t+2)(t-1)=(-t-2)^{2}\;\Longrightarrow\;t^{2}+t-2=t^{2}+4t+4\;\Longrightarrow\;t-2=4t+4\;\Longrightarrow\;-6=3t,$

da cui $t=-2$ . Questo valore appartiene all’intervallo consentito, quindi è valido; tornando alla variabile originale si ottiene $x=2^{t}=2^{-2}=1/4$ . L’equazione ammette dunque la sola soluzione

$\boxcolorato{superiori}{ S=\left\{\frac14\right\}.}$

Esercizio 30 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$3\log^2 x - 2\log x = 0.$

Svolgimento.

L’equazione

$3(\log x)^{2}-2\log x=0$

è definita per $x>0$ . Ponendo $t=\log x$ si ottiene

$3t^{2}-2t=0\quad\Longrightarrow\quad t(3t-2)=0,$

da cui $t=0$ oppure $t=\tfrac23$ . Tornando alla variabile originaria si ha

$x=10^{0}=1,\qquad x=10^{\,2/3}.$

L’insieme delle soluzioni reali è quindi

$\boxcolorato{superiori}{ S=\bigl\{\,1,\;10^{2/3}\bigr\}.}$

Esercizio 31 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$\log_{2}x^{2}+(\log_{1/2}x)^{2}=0 .$

Svolgimento.

Pongo $t=\log_{2}x$ , con $x>0$ ; risulta $\log_{2}x^{2}=2t$ , mentre $\log_{1/2}x=\dfrac{\log x}{\log\!\bigl(\tfrac12\bigr)}=-\dfrac{\log x}{\log2}=-t$ , quindi $(\log_{1/2}x)^{2}=t^{2}$ . L’equazione diventa allora

$2t+t^{2}=0\;\Longrightarrow\;t(t+2)=0\;\Longrightarrow\;t=0\;\text{oppure}\;t=-2.$

Tornando alla variabile iniziale otteniamo $x=2^{\,0}=1$ e $x=2^{-2}=1/4$ , che soddisfano il requisito $x>0$ . L’insieme delle soluzioni reali è dunque

$\boxcolorato{superiori}{ S=\Bigl\{\frac14,\;1\Bigr\}.}$

Esercizio 32 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$\log_{\,\tfrac12}x^{2}+4\log_{2}\sqrt{x}-2=0.$

Svolgimento.

Per i logaritmi occorre soltanto $x>0$ . Pongo $t=\log_{2}x$ , così che $x=2^{t}$ .

Il primo termine diventa

$\log_{\,\tfrac12}x^{2}=\frac{\log_{2}x^{2}}{\log_{2}(\tfrac12)} =\frac{2t}{-1}=-2t,$

mentre il secondo è

$4\log_{2}\sqrt{x}=4\cdot\frac{t}{2}=2t.$

Sostituendo nell’equazione si ottiene

$(-2t)+2t-2=0\;\Longrightarrow\;-2=0,$

un’uguaglianza impossibile.

Poiché nessun valore di $t$ (e dunque di $x>0$ ) può soddisfarla, l’equazione non ammette soluzioni reali:

$\boxcolorato{superiori}{ S=\emptyset.}$

Esercizio 33 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$\log_{3}\sqrt{x}\,(\log_{3}x+1)-2\log_{3}x=2.$

Svolgimento.

La condizione di esistenza per l’equazione è $x>0$ perché compaiono dei logaritmi. Poniamo $t=\log_{3}x$ ; allora $\log_{3}\sqrt{x}=\log_{3}x^{1/2}=\tfrac12\,\log_{3}x=\tfrac{t}{2}$ . L’equazione diventa

$\frac{t}{2}\,(t+1)-2t=2.$

Il prodotto $\tfrac{t}{2}(t+1)$ vale $\tfrac{t^{2}+t}{2}$ ; sostituendo e moltiplicando per $2$ si ottiene

$t^{2}+t-4t=4\;\Longrightarrow\;t^{2}-3t-4=0.$

Il trinomio si annulla per

$t=\frac{3\pm\sqrt{9+16}}{2}=\frac{3\pm5}{2},$

ossia $t=4$ oppure $t=-1$ . Tornando alla variabile originale,

$x=3^{\,t}=3^{4}=81,\qquad x=3^{-1}=\tfrac13,$

entrambi ammessi perché positivi. L’insieme delle soluzioni reali è quindi

$\boxcolorato{superiori}{ S=\left\{\tfrac13,\;81\right\}.}$

Esercizio 34 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$\log^2x^2+\log(-x)=0.,$

Svolgimento.

La presenza di $\log(-x)$ impone $x<0$ , mentre per $\log x^2$ occorre $x \neq 0$ ; ne segue che la condizione di esistenza è

$x<0.$

In tale intervallo poniamo

$y=\log(-x)\quad\Longrightarrow\quad \log(x^{2})=\log\bigl[(-x)^{2}\bigr]=\log\bigl(( -x)^{2}\bigr)=\log\bigl((-x)^{2}\bigr)=2\log(-x)=2y .$

Sostituendo nell’equazione si ottiene

$(2y)^{2}+y=0 \;\Longrightarrow\;4y^{2}+y=0\;\Longrightarrow\;y\,(4y+1)=0.$

I valori possibili sono $y=0$ oppure $y=-\tfrac14$ .

* Se $y=0$ allora $\log(-x)=0$ e quindi $-x=1$ , da cui $x=-1$ .

* Se $y=-\tfrac14$ allora $\log(-x)=-\tfrac14$ e quindi $-x=e^{-1/4}$ , cioè $x=-e^{-1/4}$ .

Entrambi i valori ottenuti sono negativi e dunque ammessi. L’insieme delle soluzioni reali è

$\boxcolorato{superiori}{ S=\left\{-1,\;-\mathrm e^{-1/4}\right\}.}$

Esercizio 35 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$\sqrt{10 + \log_3 x^2} = 5 - \sqrt{10 + 3\log_{\frac{1}{3}} x}.$

Svolgimento.

Si ponga

$y=\log_{3}x\qquad(x>0),$

così l’equazione

$\sqrt{\,10+\log_{3}x^{2}\,}=5-\sqrt{\,10+3\log_{1/3}x\,}$

diventa

$\sqrt{\,10+2y\,}=5-\sqrt{\,10-3y\,},$

perché $\log_{3}x^{2}=2y$ e $\log_{1/3}x=-y$ .

Il dominio richiede $10+2y\ge0$ e $10-3y\ge0$ , cioè $-5\le y\le\frac{10}{3}$ ; inoltre il secondo radicando deve soddisfare $\sqrt{10-3y}\le5$ , condizione che coincide con $y\ge-5$ . Quindi $-5\le y\le\frac{10}{3}$ .

Portando la radice a sinistra si ha

$\sqrt{\,10+2y\,}+\sqrt{\,10-3y\,}=5.$

Dopo aver elevato due volte al quadrato si ottiene

$y^{2}+2y-15=0\;\Longrightarrow\;(y+5)(y-3)=0,$

quindi $y=-5$ oppure $y=3$ , entrambi interni all’intervallo ammesso.

Invertendo la sostituzione, $x=3^{y}$ , si trovano

$x=3^{-5}=\frac{1}{243},\qquad x=3^{3}=27.$

L’insieme delle soluzioni reali è pertanto

$\boxcolorato{superiori}{\,S=\left\{\dfrac{1}{243},\,27\right\}\,.}$

Esercizio 36 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$\log^{3}x+2\log^{2}x-3\log x=0.$

Svolgimento.

Essendo il logaritmo definito soltanto per argomenti positivi, si stabilisce il dominio

$D=\{x\in\mathbb R:\,x>0\}.$

Per ricondurre l’espressione a una forma polinomiale si pone $t=\log x$ , ottenendo

$t^{3}+2t^{2}-3t=0,$

che si fattorizza immediatamente in

$t\,(t+3)\,(t-1)=0.$

Ne conseguono le tre radici

$t_{1}=0,\qquad t_{2}=1,\qquad t_{3}=-3.$

Ritornando alla variabile originaria si ricavano

$\log x=0\Longrightarrow x=10^{0}=1,\qquad \log x=1\Longrightarrow x=10^{1}=10,\qquad \log x=-3\Longrightarrow x=10^{-3}.$

Tutti i valori ottenuti rispettano la condizione $x>0$ ; l’insieme delle soluzioni è quindi

$\boxcolorato{superiori}{\,S=\{10^{-3},\,1,\,10\}.}$

Esercizio 37 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$\log_{3}^{2}(x-1) \;-\; 2\log_{3}(x-1) \;=\; 3$

Svolgimento.

Si impone innanzitutto $x-1>0$ , così da individuare il dominio

$D=\{\,x\in\mathbb R\mid x>1\,\}.$

Si ponga $y=\log_{3}(x-1)$ ; l’equazione assegnata si traduce pertanto in

$y^{2}-2y-3=0, \qquad\Longrightarrow\qquad (y-3)(y+1)=0 \qquad\Longrightarrow\qquad \begin{cases} y=3,\\ y=-1. \end{cases}$

$\begin{aligned} y=3&\;\Longrightarrow\;\log_{3}(x-1)=3 \;\Longrightarrow\;x-1=3^{3}=27 \;\Longrightarrow\;x=28,\\[6pt] y=-1&\;\Longrightarrow\;\log_{3}(x-1)=-1 \;\Longrightarrow\;x-1=3^{-1}=\dfrac{1}{3} \;\Longrightarrow\;x=\dfrac{4}{3}. \end{aligned}$

Poiché entrambe le soluzioni soddisfano il vincolo $x>1$ , si ottiene infine l’insieme soluzione

$\boxcolorato{superiori}{\,S=\left\{\dfrac{4}{3},\,28\right\}.}$

Esercizio 38 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$5\log^{3}\sqrt{x} \;+\; 6\log^{2}\sqrt{x} \;-\; 9\log\sqrt{x} \;=\; 2$

Svolgimento.

Si esamini l’equazione

$5\bigl(\log\sqrt{x}\bigr)^3 \;+\; 6\bigl(\log\sqrt{x}\bigr)^2 \;-\; 9\log\sqrt{x}\;=\;2.$

Poiché il logaritmo naturale è definito soltanto per argomento positivo, si stabilisce subito la condizione di esistenza $x>0$ .

Per rendere il calcolo più agevole si ponga

$t=\log\sqrt{x}=\tfrac12\log x,$

operazione lecita nell’intero dominio già indicato; l’equazione diventa polinomio di terzo grado in $t$ :

$5t^{3}+6t^{2}-9t-2=0.$

Si procede alla ricerca delle radici razionali; la verifica diretta mostra che $t=1$ soddisfa l’equazione, perciò il polinomio è divisibile per $t-1$ . Il raccoglimento e la successiva scomposizione restituiscono

$5t^{3}+6t^{2}-9t-2=(t-1)(t+2)(5t+1)=0,$

da cui si ricavano le tre soluzioni reali

$t_{1}=1,\qquad t_{2}=-2,\qquad t_{3}=-\tfrac15.$

Poiché $t=\tfrac12\log x$ , si ottiene in ciascun caso

$\log x = 2t \quad\Longrightarrow\quad x=e^{2t},$

e precisamente

$x_{1}=e^{2},\qquad x_{2}=e^{-4},\qquad x_{3}=e^{-\frac25}.$

Tutti e tre i valori appartengono al dominio $x>0$ , pertanto non insorgono esclusioni ulteriori.

Di conseguenza l’insieme delle soluzioni è

$\boxcolorato{superiori}{ S=\{\,e^{2},\,e^{-4},\,e^{-\tfrac25}\,\}.}$

Esercizio 39 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$\log_{2}^{4}(2x-3) \;-\; 5\log_{2}^{2}(2x-3) \;+\; 4 \;=\; 0$

Svolgimento.

Si impone innanzitutto $2x-3>0$ , condizione che individua il dominio

$D=\{\,x\in\mathbb R\mid x>\tfrac32\,\}.$

Introducendo la variabile ausiliaria $y=\log_{2}(2x-3)$ l’equazione assegnata

$\log_{2}^{4}(2x-3)-5\log_{2}^{2}(2x-3)+4=0$

si traduce nell’equazione di quarto grado

$y^{4}-5y^{2}+4=0, \iff (y^{2}-4)(y^{2}-1)=0,$

dove la scomposizione segue dalla classica strategia del polinomio particolare rispetto alla variabile $t=y^2$ . Da ciò conseguono le quattro soluzioni

$y=\pm2,\qquad y=\pm1.$

Si ritorna allora alla variabile originaria:

$\begin{aligned} y=2&\;\Longrightarrow\;\log_{2}(2x-3)=2 \;\Longrightarrow\;2x-3=2^{2}=4 \;\Longrightarrow\;x=\tfrac72,\\[6pt] y=-2&\;\Longrightarrow\;\log_{2}(2x-3)=-2 \;\Longrightarrow\;2x-3=2^{-2}=\tfrac14 \;\Longrightarrow\;x=\tfrac{13}{8},\\[6pt] y=1&\;\Longrightarrow\;\log_{2}(2x-3)=1 \;\Longrightarrow\;2x-3=2 \;\Longrightarrow\;x=\tfrac52,\\[6pt] y=-1&\;\Longrightarrow\;\log_{2}(2x-3)=-1 \;\Longrightarrow\;2x-3=2^{-1}=\tfrac12 \;\Longrightarrow\;x=\tfrac74. \end{aligned}$

Tutti i valori così ottenuti soddisfano il vincolo $x>\tfrac32$ ; di conseguenza l’insieme soluzione risulta

$\boxcolorato{superiori}{\,S=\left\{\dfrac{13}{8},\,\dfrac74,\,\dfrac52,\,\dfrac72\right\}.}$

Esercizio 40 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$\bigl(\log_{x-1}3\bigr)^{2}-\log_{x-1}3-2=0.$

Svolgimento.

Si stabilisce anzitutto il dominio: poiché l’argomento del logaritmo è positivo in modo intrinseco (trattandosi di $3$ ), l’unico vincolo riguarda la base $x-1$ , che deve risultare positiva e diversa da $1$ ; pertanto

$x-1>0,\qquad x-1\neq1 \quad\Longrightarrow\quad x>1,\;x\neq2.$

Per risolvere l’equazione si pone

$t=\log_{x-1}3,$

sostituzione lecita su tutto il dominio. In tal modo l’equazione diviene

$t^{2}-t-2=0,$

la cui soluzione fornisce

$t_{1}=2,\qquad t_{2}=-1.$

Nel primo caso $t=2$ implica

$\log_{x-1}3=2 \;\Longrightarrow\; 3=(x-1)^{2} \;\Longrightarrow\; x-1=\pm\sqrt{3}.$

Il valore negativo non rientra nel dominio, mentre il positivo produce

$x=1+\sqrt{3}.$

Nel secondo caso $t=-1$ conduce a

$\log_{x-1}3=-1 \;\Longrightarrow\; 3=(x-1)^{-1} \;\Longrightarrow\; x-1=\frac13 \;\Longrightarrow\; x=\frac43,$

che rispetta il dominio in quanto $x>1$ e $x\neq2$ .

Non emergono ulteriori restrizioni, così l’insieme delle soluzioni è

$\boxcolorato{superiori}{ S=\Bigl\{\frac43,\;1+\sqrt{3}\Bigr\}.}$

Esercizio 41 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$\log_{2x+1}^{2} 27 \;+\; \log_{2x+1}\!\left(\frac{1}{27}\right) \;-\; 6 \;=\; 0$

Svolgimento.

Si richiede anzitutto che la base del logaritmo sia positiva e diversa da 1; pertanto

$2x+1>0\quad\text{e}\quad2x+1\neq1, \qquad\Longrightarrow\qquad x>-\tfrac12,\;x\neq0,$

donde

$D=(-\tfrac12,\,+\infty)\setminus\{0\}.$

Posto $y=\log_{2x+1}27$ , l’equazione

$\log^{2}_{2x+1}27+\log_{2x+1}\tfrac1{27}-6=0$

si trasforma tenendo conto che $\log_{2x+1}\tfrac1{27}=\log_{2x+1}27^{-1}=-y$ ; ne segue il trinomio

$y^{2}-y-6=0, \qquad\Longrightarrow\qquad (y-3)(y+2)=0,$

dal quale si ottengono

$y_{1}=3,\qquad y_{2}=-2.$

Da $y=3$ si ricava

$\begin{aligned} y=3\;\Longrightarrow\;\log_{2x+1}27=3 \;\Longrightarrow\;(2x+1)^{3}=27 \;\Longrightarrow\;2x+1=3 \;\Longrightarrow\;x=1, \end{aligned}$

mentre da $y=-2$ si ottiene

$\begin{aligned} y=-2 & \iff \log_{2x+1}27=-2 \\ & \iff (2x+1)^{-2}=27 \\ & \iff (2x+1)^{2}=\tfrac1{27} \\ & \iff 2x+1=\tfrac1{\sqrt{27}}=\tfrac1{3\sqrt3} \\ & \iff x=\frac{1-3\sqrt3}{6\sqrt3}=\frac{\sqrt3-9}{18}. \end{aligned}$

Entrambi i valori ottenuti appartengono a $D$ ; si conclude pertanto

$\boxcolorato{superiori}{\,S=\Bigl\{1,\;\dfrac{\sqrt3-9}{18}\Bigr\}.}$

Esercizio 42 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$\frac{5}{\log_{\frac12}^{2}x \;-\; 5\log_{\frac12}x \;+\; 6} \;-\; \frac{1}{\log_{\frac12}^{2}x \;-\; 3\log_{\frac12}x \;+\; 2} \;-\; \frac{3}{\log_{\frac12}^{2}x \;-\; 4\log_{\frac12}x \;+\; 3} \;=\; 0.$

Svolgimento.

Poiché il logaritmo in base $\tfrac12$ è definito per $x>0$ , la prima condizione di esistenza impone $x>0$ . Inoltre i tre denominatori non devono annullarsi; ponendo

$t=\log_{\frac12}x,$

condizione lecita su tutto il dominio appena citato, si osserva che

$\begin{aligned} t^{2}-5t+6=(t-2)(t-3),\\ t^{2}-3t+2=(t-1)(t-2),\\ t^{2}-4t+3=(t-1)(t-3), \end{aligned}$

i quali si annullano rispettivamente per $t=1,2,3$ . Ne consegue che, in termini della variabile originaria, occorre escludere i valori

$x=\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{1}=\tfrac12,\qquad x=\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{2}=\tfrac14,\qquad x=\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{3}=\tfrac18.$

Il dominio risulta pertanto

$D=\bigl(0,+\infty\bigr)\setminus\Bigl\{\tfrac18,\tfrac14,\tfrac12\Bigr\}.$

Con la sostituzione $t=\log_{\frac12}x$ l’equazione assume la forma

$\frac{5}{(t-2)(t-3)}-\frac{1}{(t-1)(t-2)}-\frac{3}{(t-1)(t-3)}=0.$

Moltiplicando per il minimo comune denominatore $(t-1)(t-2)(t-3)$ si ottiene

$5(t-1)-(t-3)-3(t-2)=0,$

ossia

$5t-5-t+3-3t+6=0\;\Longrightarrow\;t+4=0, \qquad\text{da cui}\qquad t=-4.$

Il valore trovato non coincide con $1,2,3$ , pertanto non provoca annullamenti di denominatore e resta ammesso. Ritornando alla variabile $x$ si ha

$t=\log_{\frac12}x=-4 \;\Longrightarrow\; x=\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{-4}=2^{4}=16,$

valore che appartiene a $D$ .

Si conclude quindi che l’insieme delle soluzioni è

$\boxcolorato{superiori}{S=\{16\}.}$

Esercizio 43 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$\frac{\log_{1/3}^{2}(1 - x) \;-\; 1}{\log_{1/3}^{2}(1 - x) \;-\; 9} \;-\; \frac{1}{\log_{1/3}(1 - x) \;+\; 3} \;+\; \frac{\log_{1/3}(1 - x) \;-\; 1}{\log_{1/3}(1 - x) \;-\; 3} \;=\; 0$

Svolgimento.

Si osservi innanzitutto che il logaritmo $\log_{\,\frac13}(1-x)$ è definito soltanto per $1-x>0$ , condizione che impone $x<1$ ; poiché la base $\tfrac13$ è positiva e diversa da $1$ , non emergono ulteriori restrizioni. Si introduca dunque la variabile ausiliaria

$y=\log_{\,\frac13}(1-x),$

ricordando che la trasformazione è biunivoca nell’intervallo $x<1$ . Con tale sostituzione l’espressione

$\frac{\log_{\,\frac13}^{2}(1-x)-1}{\log_{\,\frac13}^{2}(1-x)-9} -\frac{1}{\log_{\,\frac13}(1-x)+3} +\frac{\log_{\,\frac13}(1-x)-1}{\log_{\,\frac13}(1-x)-3}=0$

diviene

$\frac{y^{2}-1}{y^{2}-9}-\frac{1}{y+3}+\frac{y-1}{y-3}=0.$

I denominatori impongono $y\neq\pm3$ , perciò tali valori andranno eventualmente esclusi. Sommandosi i tre termini si ottiene

$\frac{2y^{2}+y-1}{y^{2}-9}=0,$

donde si ricava il solo vincolo $2y^{2}+y-1=0$ ; si calcola

$y=\frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{4}\; \Longrightarrow\; y_{1}=\frac12,\quad y_{2}=-1,$

entrambi compatibili con il requisito $y\neq\pm3$ .

Si ritorna allora alla variabile originaria. Con $y=\log_{\,\frac13}(1-x)$ si ha

$\begin{aligned} y=\frac12&\;\Longrightarrow\;1-x=\bigl(\tfrac13\bigr)^{1/2}=\frac1{\sqrt3} \;\Longrightarrow\;x=1-\frac1{\sqrt3},\\[6pt] y=-1&\;\Longrightarrow\;1-x=\bigl(\tfrac13\bigr)^{-1}=3 \;\Longrightarrow\;x=-2. \end{aligned}$

Entrambi i valori soddisfano il vincolo iniziale $x<1$ ; l’insieme soluzione risulta pertanto

$\boxcolorato{superiori}{\,S=\Bigl\{-2,\;1-\dfrac1{\sqrt3}\Bigr\}.}$

Esercizio 44 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare i valori di $a,b,c$ che soddisfano il sistema

$\begin{cases} \log_b(a) = 2; \\ \log_b(c-3) = 3; \\ \log_a(c+5) = 2. \end{cases}$

Svolgimento.

Innanzitutto, i valori delle incognite per cui il sistema ha significato sono $a, b \ne 1$ e $c > 3$ (condizioni che vanno aggiunte all’ipotesi $a, b, c > 0$ ). Usando la definizione di logaritmo, riscriviamo le espressioni iniziali sotto forma di potenze:

$\begin{cases} b^2 = a; \\ b^3 = c-3; \\ a^2 = c+5. \end{cases}$

Dalla prima, abbiamo $a^2 = b^4$ , mentre dalle ultime due abbiamo:

$b^3 = c-3 = (c+5) - 8 = a^2 - 8 = b^4-8.$

Questa è un’equazione per $b$ . Per trovarne le soluzioni, consideriamo la funzione $f(b) = b^4-b^3-8$ , che ha uno zero per $b = 2$ (si può trovare per tentativi usando il teorema della radici razionali). Inoltre $f'(b) = 4b^3 - 3b^2 = b^2(4b-3)$ è positiva per $b > 3/4$ . Quindi $f$ è crescente (decrescente) per $b > 3/4$ ( $b < 3/4$ ). Dato che $f(0) = -8$ , l’unica radice positiva di $f$ è proprio $b = 2$ , che è l’unica soluzione ammissibile per il sistema di partenza.

Sostituendo si ha quindi un solo valore ammesso di $a = b^2 = 4$ . Si trova anche $c = a^2-5 = 11$ . I valori trovati di $a$ , $b$ e $c$ sono consistenti con le condizioni di esistenza, per cui la (sola) soluzione trovata è accettabile. Concludiamo che l’unica soluzione del sistema è

$\boxcolorato{superiori}{a=4, \quad b=2, \quad c=11.}$

Esercizio 45 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Siano $a$ , $b$ , $c$ tre numeri reali positivi, diversi da 1. Determinare il numero di soluzioni del seguente sistema di equazioni:

$\begin{cases} \log_a(b) = c; \\ \log_b(a) = c + \dfrac{3}{2}; \\ \log_c(a) = b. \end{cases}$

Svolgimento.

Combinando le prime due equazioni, e ricordando la proprietà dei logaritmi $\log_b(a) = 1/\log_a(b)$ , abbiamo:

$\begin{gathered} c + \frac{3}{2} = \log_b(a) = \frac{1}{\log_a(b)} = \frac{1}{c}; \\ c^2 + \frac{3}{2}c = 1; \\ 2c^2 + 3c - 2 = 0. \end{gathered}$

Questa è un’equazione di secondo grado con soluzioni $c = -2$ e $c = 1/2$ , ma la prima va esclusa perché $c > 0$ . Inserendo $c = 1/2$ nelle restanti equazioni:

$\begin{cases} \log_b(a) = c+\dfrac{3}{2} = 2; \\ \log_c(a) = \log_{1/2}(a) = b; \end{cases} \implies\mbox{\quad} \begin{cases} a = b^2; \\ a = \left(\dfrac{1}{2}\right)^b = 2^{-b}. \end{cases}$

Il sistema risultante nonè risolubile in termini di funzioni elementari, ma possiamo concludere graficamente che possiede una sola coppia di soluzioni reali.

$\quad$

Figura 2.

$\quad$

Infatti, la funzione $f(b) = b^2$ è crescente per $b \geq 0$ , tende a $+\infty$ per $b \to +\infty$ , e $f(0) = 0$ . Allo stesso tempo, la funzione $g(b) = 2^{-b}$ è descrescente, tende a 0 per $b\to+\infty$ , e $g(0) = 1$ . Esiste quindi un’unica intersezione tra i grafici delle due curve. Il sistema possiede quindi

$\boxcolorato{superiori}{\text{1 soluzione.}}$

Esercizio 46 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Disporre in ordine crescente i seguenti numeri senza l’ausilio di una calcolatrice, considerando che $e \approx 2,71$ :

$z=\ln 4, \quad t=\sqrt{e}.$

Svolgimento.

Grazie alla monotonia della potenza con base $e$ , si ha

(2) $\begin{equation*} \sqrt{e}> \ln 4 \iff e^{\sqrt{e}} > e^{\ln 4} = 4. \end{equation*}$

Dalla stima $e \approx 2,71 > \frac{8}{3}$ segue $\sqrt{e}>\frac{2\sqrt{6}}{3}>\frac{5}{3}> \frac{3}{2}$ e quindi

(3) $\begin{equation*} e^{\sqrt{e}} > e^{\frac{3}{2}} = e\cdot \sqrt{e} > \frac{8}{3} \cdot \frac{5}{3} = \frac{40}{9} > 4. \end{equation*}$

Si deduce quindi

$\boxcolorato{superiori}{z < t.}$

Esercizio 47 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Si consideri che $2^3 = 8$ , $2^5 = 32$ , $3^2 = 9$ , e $3^3 = 27$ . Cosa possiamo dedurre sul numero $\log_2(3)$ ?

$\quad$

E’ compreso tra $\frac{4}{3}$ e $\frac{3}{2}$ .

E’ compreso tra $\frac{3}{2}$ e $\frac{5}{3}$ .

E’ compreso tra $\frac{5}{3}$ e $2$ .

E’ compreso tra $2$ e $3$ .

Svolgimento.

Ricordiamo innanzitutto che il logaritmo (con base $a > 1$ ) è una funzione crescente del suo argomento. Sfruttando il suggerimento del testo, abbiamo:

$\begin{aligned} 27 < 32 {} & \implies 3^3 < 2^5 \implies 3\log_2(3) < 5 {} & \implies \log_2(3) < \frac{5}{3}; \\ 9 > 8 {} & \implies 3^2 > 2^3 \implies 2\log_2(3) > 3 {} & \implies \log_2(3) > \frac{3}{2}. \end{aligned}$

La risposta è quindi la

$\boxcolorato{superiori}{2.}$

Esercizio 48 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Dati $a$ e $b$ reali positivi tali che

$4(\log_{10} a)^2 + (\log_{10}b)^2 = 1,$

qual è il più grande possibile valore di $a$ ?

Svolgimento.

Posto $A = \log_{10}(a)$ e $B = \log_{10}(b)$ , la condizione imposta corrisponde ad un’ellisse nel piano $(A,B)$ , centrata nell’origine e con semiasse orizzontale di lunghezza $1/2$ . Il massimo valore di $a$ si ha in corrispondenza del massimo valore di $A$ , che è proprio $A = 1/2$ . Quindi il massimo di $a = 10^A$ è

$\boxcolorato{superiori}{10^{1/2} = \sqrt{10}.}$

$\quad$

Figura 3.

Esercizio 49 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Senza usare la calcolatrice, stabilire quale dei seguenti numeri è il più piccolo:

$\fbox{a}\;\log_{10} (\pi) , \quad \fbox{b}\;\sqrt{\log_{10}(\pi^2)}, \quad \fbox{c}\;\left[\dfrac{1}{\log_{10}(\pi)}\right]^3, \quad \fbox{d}\;\dfrac{1}{\log_{10}\left(\sqrt{\pi}\right)}.$

Svolgimento.

Posto $x = \log_{10} (\pi)$ , dato che $1 < \pi < 10$ , abbiamo $0 < x < 1$ . Questo ci permette di concludere immediatamente che $1/[\log_{10}(\pi)] > 1$ , e quindi:

$\begin{gathered} \left[\frac{1}{\log_{10}(\pi)}\right]^3 > 1; \\ \frac{1}{\log_{10}\left(\sqrt{\pi}\right)} = \frac{2}{\log_{10}(\pi)} > 2. \end{gathered}$

Questo ci dice che $\fbox{a} < \fbox{c}$ e $\fbox{a} < \fbox{d}$ . Infine, essendo $x < 2$ :

$\sqrt{\log_{10}(\pi^2)} = \sqrt{2\cdot x} > \sqrt{x\cdot x} = x,$

cioè $\fbox{a} < \fbox{b}$ . Graficamente:

$\quad$

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$\quad$

La risposta è quindi

$\boxcolorato{superiori}{a.}$

Esercizio 50 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Senza utilizzare la calcolatrice, stabilire quale tra i seguenti numeri è il più piccolo.

$\left(\sqrt{3}\right)^3, \quad \log_3\left(9^2\right), \quad \left(3\sin\dfrac{\pi}{3}\right)^2, \quad \log_2\left[\log_2\left(8^5\right)\right].$

Svolgimento.

Valutiamo e confrontiamo i quattro numeri:

$\left(\sqrt{3}\right)^3 = \sqrt{3^3} = \sqrt{27} > \sqrt{16} = 4.$

$\log_3\left(9^2\right) = \log_3\left(3^4\right) = 4.$

$\left(3\sin\dfrac{\pi}{3}\right)^2 = \left(3\times\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{27}{4} > 4.$

$\log_2\left[\log_2\left(8^5\right)\right] = \log_2\left[\log_2\left(2^{15}\right)\right] = \log_2(15) < \log_2(16) = \log_2(2^4) = 4.$

\medskip L’unico numero minore di 4 è $\log_2\left[\log_2\left(8^5\right)\right]$ . La risposta è quindi

$\boxcolorato{superiori}{\log_2\left[\log_2\left(8^5\right)\right].}$

$\quad$

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Esercizio 51 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere l’equazione

$\log_{x^2+2}(4-5x^2-6x^3) = 2.$

Svolgimento.

Innanzitutto è necessario stabilire le condizioni di esistenza dell’equazione. La base del logaritmo deve essere sempre positiva e diversa da 1, che è una condizione sempre verificata perché $x^2+2 \geq 2$ . In secondo luogo, l’argomento $P(x)$ del logaritmo deve essere positivo:

(4) $\begin{equation*} P(x) = 4-5x^2-6x^3 > 0. \end{equation*}$

Sebbene non impossibile da risolvere, questa equazione non è neppure immediata (per chi fosse curioso, la soluzione è $x < 2/3$ ). In realtà, a noi non serve strettamente risolvere questa equazione, ma ci basta tenere in mente la condizione (4) per verificare che le soluzioni trovate siano accettabili.

Osserviamo a questo punto che, per definizione di logaritmo, l’equazione di partenza è equivalente alla seguente (purché siano rispettate le condizioni di esistenza):

$4-5x^2-6x^3 = (x^2+2)^2.$

Infatti, la scrittura $\log_a(b) = c$ vuol dire che $a^c = b$ . Semplificando e fattorizzando:

$\begin{gathered} 4-5x^2-6x^3 = x^4 + 4x^2 + 4; \\ x^2(x^2+6x+9) = 0; \\ x^2(x+3)^2 = 0. \end{gathered}$

Le soluzioni sono quindi $x = 0$ e $x = -3$ . Ci resta solo da verificare che siano accettabili, cioè compatibili con la condizione (4). In effetti, abbiamo $P(0) = 4$ e $P(-3) = 4-5\cdot9+6\cdot27 = 121$ , che sono entrambi numeri positivi, e quindi accettabili. Le soluzioni sono quindi

$\boxcolorato{superiori}{x=0, \quad x=-3.}$

Esercizio 52 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Senza utilizzare la calcolatrice, stabilire quale dei seguenti numeri è il più grande.

$\quad$

$\dfrac{\sqrt{7}}{2}$ .

$\dfrac{5}{4}$ .

$\dfrac{\sqrt{10!}}{3\cdot6!}$ .

$\dfrac{\log_2(30)}{\log_3(85)}$ .

$\dfrac{1+\sqrt{6}}{3}$ .

Svolgimento.

Confrontiamo le varie opzioni che ci sono presentate.

$\quad$

$\fbox{2}$ rispetto a $\fbox{1}$ . Riportiamo a denominatore comune:
$\frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{2\sqrt{7}}{4} = \frac{\sqrt{28}}{4} > \frac{\sqrt{25}}{4} = \frac{5}{4}.$

$\fbox{3}$ rispetto a $\fbox{1}$ . Portando tutto sotto radice, espandendo i fattoriali, e semplificando i numerosi fattori comuni, si ha:
$\frac{\sqrt{10!}}{3\cdot6!} = \sqrt{\frac{(5\cdot2)\cdot(3^2)\cdot(2^3)\cdot7\cdot(2\cdot3)\cdot5\cdot(2^2)\cdot3\cdot2}{3^2\cdot(2\cdot3)^2\cdot5^2\cdot(2^2)^2\cdot3^2\cdot2^2}} = \frac{\sqrt{7}}{3} < \frac{\sqrt{7}}{2}.$

$\fbox{4}$ rispetto a $\fbox{2}$ . Sfruttando il fatto che la funzione $\log_2(x)$ è monotona crescente, abbiamo:
$\frac{\log_2(30)}{\log_3(85)} < \frac{\log_2(32)}{\log_3(81)} = \frac{\log_2(2^5)}{\log_3(3^4)} = \frac{5}{4}.$

$\fbox{5}$ rispetto a $\fbox{1}$ . Elevando al quadrato ambo i membri, osserviamo che:
$\frac{1+\sqrt{6}}{3} < \frac{\sqrt{7}}{2} \iff \frac{7+2\sqrt{6}}{9} < \frac{7}{4} \iff 8\sqrt{6} < 35.$

Dato che $\sqrt{6} < \sqrt{9} = 3$ , si ha $8\sqrt{6} < 24 < 35$ , e quindi la disuguaglianza originale è verificata.

Mettendo assieme questi risultati, si conclude che il numero più grande è

$\boxcolorato{superiori}{\frac{\sqrt{7}}{2}.}$

Esercizio 53 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Siano $a$ , $b$ , $c$ numeri reali positivi, con $a,b \ne 1$ . Stabilire sotto quale condizione l’equazione

$\log_b\left[(b^x)^x\right] + \log_a\left(\frac{c^x}{b^x}\right) + \log_a\left(\frac{1}{b}\right)\log_a(c) = 0$

ammette una radice di molteplicità doppia.

Svolgimento.

Ricordiamo alcune proprietà delle potenze e dei logaritmi:

$\begin{aligned} (b^x)^x & = b^{x\cdot x} = b^{x^2}; \\ \log(c^x) & = x\log(c); \\ \log_a(c/b) & = \log_a(c)-\log_a(b). \end{aligned}$

Possiamo allora riscrivere l’equazione assegnata nel seguente modo: % Ricordando le proprietà dei logaritmi, riscriviamo l’equazione assegnata in questo modo:

$x^2 + x\log_a\left(\frac{c}{b}\right) - \log_a(b)\log_a(c) = 0.$

Questa è un’equazione di secondo grado, che ammette una soluzione doppia se e solo se il suo discriminante $\Delta$ è nullo:

$\begin{aligned} \Delta = {} & \left[\log_a\left(\frac{c}{b}\right)\right]^2 + 4\log_a(b)\log_a(c) = \\ = {} & \left[\log_a(c) - \log_a(b)\right]^2 + 4\log_a(b)\log_a(c) = \\ = {} & \log_a^2(c) + \log_a^2(b) + 2\log_a(b)\log_a(c) = \\ = {} & \left[\log_a(b)+\log_a(c)\right]^2 = \\ = {} & \left[\log_a(bc)\right]^2. \end{aligned}$

Imponendo $\Delta = 0$ , si conclude che $\log_a(bc) = 0$ , cioè

$\boxcolorato{superiori}{bc = 1.}$

Esercizio 54 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Tenendo presente che

$\begin{aligned} \log_{10}(2) \approx 0\text{,3010} & \quad \text{(4 cifre decimali corrette)}, \\ 10^{\text{0,2}} < 2 \end{aligned}$

stabilire, senza usare la calcolatrice, la validità di una delle seguenti affermazioni

$\quad$

$2^{100}$ inizia con un 1 ed ha 30 cifre.

$2^{100}$ inizia con un 2 ed ha 30 cifre.

$2^{100}$ inizia con un 1 ed ha 31 cifre.

$2^{100}$ inizia con un 2 ed ha 31 cifre.

Svolgimento.

Non è difficile vedere che il numero di cifre (in base decimale) di un numero $x$ è dato da $N = \lfloor \log_{10}(x)\rfloor + 1$ (dove $\lfloor z \rfloor$ rappresenta la parte intera di $z$ ). Infatti, un numero $x$ di $N$ cifre è tale che $10^{N-1} \leq x < 10^{N}$ . Passando ai logaritmi, dunque:

$N-1 \leq \log_{10}(x) < N,$

e quindi, per definizione di parte intera,

$\lfloor \log_{10}(x)\rfloor = N - 1.$

Usando questa relazione, abbiamo quindi che, posto $x = 2^{100}$ :

$N = \lfloor \log_{10}(x)\rfloor + 1 = \lfloor 100\log_{10}(2)\rfloor + 1 = \lfloor\text{30,1}\rfloor + 1 = 31.$

Per determinare la prima cifra di $x$ , sfruttiamo l’altro suggerimento fornito nel testo. Innanzitutto, scriviamo $\log_{10}(2) = 0\text{,3010} + \varepsilon$ , con $|\varepsilon| < 10^{-4}$ . Proseguiamo poi così:

$2^{100} = 10^{100\log_{10}(2)} = 10^{\text{30,1}+100\varepsilon} = 10^{30}\cdot10^{\text{0,1}+100\varepsilon}.$

Ma, dato che $0 < \text{0,}1 + 100\,\varepsilon < 0\text{,2}$ , si ha:

$10^{30} < 2^{100} < 10^{30}\cdot 10^{\text{0,2}} < 2\cdot10^{30}.$

Tutte le disuguaglianze sono strette, per cui concludiamo che la prima cifra di $2^{100}$ è necessariamente 1. Si noti che questa disuguaglianza è anche sufficiente a dimostrare che $2^{100}$ ha 31 cifre, per cui la prima parte della soluzione è ridondante. Ci pareva però interessante riportare la formula che restituisce il numero di cifre. In definitiva, la risposta corretta è la

$\boxcolorato{superiori}{\text{3.}}$

Esercizio 55 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$\log_{1/4}\!\Bigl(-\tfrac1{3^{2-x}}+3^{x}\Bigr) =-1+\log_{1/4}\!\bigl(2^{x-3}+2^{x}\bigr).$

Svolgimento.

Gli argomenti dei logaritmi risultano sempre positivi (per ogni $x\in\mathbb{R}$ ) e quindi non pongono altre restrizioni. Sommandovi $1$ otteniamo

$\log_{1/4}\!\Bigl(-\tfrac1{3^{2-x}}+3^{x}\Bigr) -\log_{1/4}\!\bigl(2^{x-3}+2^{x}\bigr)= -1 .$

Con la regola $\log_{b}A-\log_{b}B=\log_{b}\!\bigl(A/B\bigr)$ si ha

$\log_{1/4}\!\Bigl( \frac{-\tfrac1{3^{2-x}}+3^{x}}{\,2^{x-3}+2^{x}} \Bigr)=-1,$

e poiché $\log_{1/4}C=-1$ equivale a $C=(1/4)^{-1}=4$ , ne segue

$-\frac{1}{3^{2-x}}+3^{x}=4\bigl(2^{x-3}+2^{x}\bigr).$

Riducendo ciascun membro a fattor comune:

$3^{x}-3^{x-2}=4\bigl(2^{x-3}+2^{x}\bigr)\; \Longrightarrow\; \frac{8}{9}\,3^{x}=4\cdot\frac{9}{8}\,2^{x},$

ossia

$\frac{3^{x}}{2^{x}}=\frac{9/2}{8/9}=\frac{81}{16}=(\tfrac32)^4.$

Da $(3/2)^{x}=(3/2)^4$ segue immediatamente $x=4$ .

L’argomento di ciascun logaritmo rimane positivo anche per $x=4$ , per cui l’unica soluzione reale dell’equazione è

$\boxcolorato{superiori}{ S=\{\,4\,\}.}$

Esercizio 56 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$\frac{\log_{\frac13}(2x+4)+\log_{3}x+\log_{3}(x-1)}{\log_{3}\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}=0.$

Svolgimento.

Per prima cosa si stabiliscono le condizioni di esistenza, poiché ciascun argomento di logaritmo deve risultare positivo e il denominatore non può annullarsi:

$2x+4>0,\qquad x>0,\qquad x-1>0,\qquad \frac{x}{2}>0,\qquad \log_{3}\!\left(\frac{x}{2}\right)\neq0.$

Dalle prime quattro disuguaglianze segue $x>1$ ; dall’ultima discende $\tfrac{x}{2}\neq1$ , ossia $x\neq2$ . Pertanto il dominio è

$D=\{x\in\mathbb R : x>1,\; x\neq2\}.$

L’attenzione si concentra sul numeratore, dato che l’equazione può annullarsi soltanto quando esso vale zero mentre il denominatore rimane diverso da zero (condizione già soddisfatta nel dominio):

$N(x)=\log_{\frac13}(2x+4)+\log_{3}x+\log_{3}(x-1).$

Il primo logaritmo viene convertito alla base $3$ mediante il cambio di base; poiché $\log_{3}\!\bigl(\tfrac13\bigr)=-1$ , si ottiene

$\log_{\frac13}(2x+4)=\frac{\log_{3}(2x+4)}{\log_{3}(\tfrac13)}=-\log_{3}(2x+4).$

Il numeratore si riscrive quindi come

$N(x)=-\log_{3}(2x+4)+\log_{3}x+\log_{3}(x-1) =\log_{3}\!\left(\frac{x(x-1)}{2x+4}\right).$

Affinché $N(x)=0$ , è necessario che l’argomento del logaritmo sia uguale a $1$ :

$\frac{x(x-1)}{2x+4}=1 \quad\Longrightarrow\quad x(x-1)=2x+4 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-3x-4=0.$

La risoluzione del trinomio fornisce

$x=\frac{3\pm\sqrt{9+16}}{2} =\frac{3\pm5}{2} \quad\Longrightarrow\quad x_1=4,\;x_2=-1.$

Il valore $x_2=-1$ non appartiene al dominio, mentre $x_1=4$ lo soddisfa;

Di conseguenza l’insieme delle soluzioni è

$\boxcolorato{superiori}{ S=\{\,4\,\}.}$

Esercizio 57 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$2\log_{4}^{2}\lvert x+1\rvert+\log_{4}\lvert x^{2}-1\rvert+\log_{\frac14}\lvert x-1\rvert-1=0,$

Svolgimento.

Si stabilisce dapprima il dominio dell’equazione

$2\log_{4}^{2}\lvert x+1\rvert+\log_{4}\lvert x^{2}-1\rvert+\log_{\frac14}\lvert x-1\rvert-1=0,$

richiedendo che ciascun argomento dei logaritmi sia strettamente positivo. Gli argomenti si annullano per $x=-1$ e $x=\pm1$ ; di conseguenza

$D=\mathbb R\setminus\{-1,1\}.$

Si uniformano le basi logaritmiche osservando che

$\log_{\frac14}u=-\log_{4}u \quad\text{e}\quad \lvert x^{2}-1\rvert=\lvert(x-1)(x+1)\rvert \Longrightarrow \log_{4}\lvert x^{2}-1\rvert=\log_{4}\lvert x-1\rvert+\log_{4}\lvert x+1\rvert.$

Sostituendo si ottiene

$2\log_{4}^{2}\lvert x+1\rvert +\bigl(\log_{4}\lvert x-1\rvert+\log_{4}\lvert x+1\rvert\bigr) -\log_{4}\lvert x-1\rvert-1=0,$

che si semplifica in

$2\log_{4}^{2}\lvert x+1\rvert +\log_{4}\lvert x+1\rvert-1=0.$

Posta la variabile $y=\log_{4}\lvert x+1\rvert$ , si ottiene il trinomio

$2y^{2}+y-1=0, \qquad \Delta=9, \qquad y_{1}=\frac12,\;y_{2}=-1.$

La prima radice fornisce $\lvert x+1\rvert=4^{1/2}=2$ e quindi $x=-3$ oppure $x=1$ ; la seconda radice implica $\lvert x+1\rvert=4^{-1}=\tfrac14$ e quindi $x=-\tfrac54$ oppure $x=-\tfrac34$ . Confrontando con il dominio, si esclude $x=1$ .

Pertanto l’insieme soluzione risulta

$\boxcolorato{superiori}{\,S=\left\{-3,\,-\dfrac54,\,-\dfrac34\right\}.}$

Esercizio 58 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$\log_{3}\!\bigl(9^{\,x + \frac{3}{2}} \;-\; 2\bigr) \;=\; x + 1.$

Svolgimento.

Si impone per prima cosa la positività dell’argomento del logaritmo

$9^{x+\frac32}-2>0 \;\Longrightarrow\; 3^{\,2x+3}>2 \;\Longrightarrow\; x>\frac{\log_{3}2-3}{2},$

così da individuare il dominio

$D=\Bigl\{\,x\in\mathbb R:\;x>\dfrac{\log_{3}2-3}{2}\Bigr\}.$

Si osserva quindi che

$\log_{3}\!\Bigl(9^{x+\frac32}-2\Bigr)=x+1 \;\Longrightarrow\; 9^{x+\frac32}-2=3^{\,x+1},$

ossia

$3^{\,2x+3}-3^{\,x+1}-2=0.$

Ponendo la variabile ausiliaria $y=3^{\,x}$ (con $y>0$ grazie alla definizione di potenza a base positiva) l’equazione si traduce nel quadrinomio

$27y^{2}-3y-2=0,$

la cui risoluzione fornisce

$y=\frac{3\pm15}{54} \;\Longrightarrow\; y_{1}=\frac13,\quad y_{2}=-\frac29.$

L’unica soluzione accettabile risulta $y=\tfrac13$ perché $y>0$ ; ritornando alla variabile originaria si ottiene

$3^{\,x}=\frac13 \;\Longrightarrow\; x=\log_{3}\!\Bigl(\frac13\Bigr)=-1.$

Tale valore soddisfa la condizione di dominio $x>\dfrac{\log_{3}2-3}{2}$ ; si conclude pertanto

$\boxcolorato{superiori}{\,S=\{-1\}.}$

Esercizio 59 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$2\,\log\!\sqrt[4]{2^{x}} \;=\; 3x\,\log 2 \;-\; \log 2 \;-\; \log 2^{1 - x} \;+\; \log\!\bigl(4\cdot 2^{x}\bigr).$

Svolgimento.

Gli argomenti dei logaritmi, essendo potenze o multipli positivi di $2$ , risultano sempre maggiori di zero, quindi l’espressione è definita per ogni $x\in\mathbb R$ .

La radice quarta può essere riscritta come potenza esponenziale: $\sqrt[4]{2^{x}}=(2^{x})^{1/4}=2^{x/4}$ . Ne segue

$2\log\sqrt[4]{2^{x}} \;=\; 2\log\!\bigl(2^{x/4}\bigr) \;=\; 2\cdot\frac{x}{4}\log 2 \;=\; \frac{x}{2}\log 2.$

Si procede ora a ridurre il secondo membro. Poiché $\log 2^{1-x}=(1-x)\log 2$ e $\log(4\cdot2^{x})=\log 4+\log 2^{x}=2\log 2+x\log 2$ , l’intera somma diventa

$3x\log 2-\log 2-(1-x)\log 2+2\log 2+x\log 2 \;=\; 5x\log 2,$

dato che $-\log 2-(1-x)\log 2+2\log 2$ annulla la parte costante.

L’equazione si riduce quindi a

$\frac{x}{2}\log 2 = 5x\log 2.$

Il fattore $\log 2$ è positivo e può essere eliminato, ottenendo

$\frac{x}{2}=5x \quad\Longrightarrow\quad \frac{9x}{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0.$

Il valore trovato è compatibile con il dominio precedentemente individuato, pertanto l’insieme delle soluzioni è

$\boxcolorato{superiori}{ S=\{\,0\,\}.}$

Esercizio 60 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$2-3x\log_{4}x+2\bigl(\log_{4}9-1\bigr)=0.$

Svolgimento.

Il logaritmo in base $4$ è definito per ogni $x$ perché l’argomento $3^{x}$ è sempre positivo, pertanto non sorgono restrizioni preliminari sul dominio.

Si osserva che $\log_{4}3^{x}=x\log_{4}3$ ; l’espressione diventa allora

$2-3x^{2}\log_{4}3+2\bigl(\log_{4}9-1\bigr)=0.$

Poiché $9=3^{2}$ , risulta $\log_{4}9=2\log_{4}3$ ; sostituendo si ottiene

$2-3x^{2}\log_{4}3+2\bigl(2\log_{4}3-1\bigr)=0 \;\Longrightarrow\; -3x^{2}\log_{4}3+4\log_{4}3=0.$

Il fattore $\log_{4}3$ è positivo e può essere eliminato senza modificare l’insieme delle soluzioni, lasciando

$-3x^{2}+4=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=\frac43 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\frac{2}{\sqrt{3}}=\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}.$

Entrambi i valori sono accettabili perché non violano alcuna condizione di esistenza. Pertanto l’insieme delle soluzioni risulta

$\boxcolorato{superiori}{ S=\Bigl\{-\dfrac{2\sqrt{3}}{3},\;\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\Bigr\}.}$