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Esercizi misti di goniometria per la preparazione alla maturità

Preparazione alla maturità

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Autori e revisori

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Autori: Daniele Bjørn Malesani, Valerio Brunetti, Donato Ciampa, Federico Fallucca.

Revisori: Sergio Fiorucci.


 
 

Introduzione

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In questo articolo presentiamo 74 esercizi di varia natura su argomenti di goniometria, per il ripasso in vista dell’esame di maturità. La goniometria, ossia la branca della geometria che studia le relazioni tra gli angoli e le quantità a essi associate, costituisce un importante strumento nella matematica pura e applicata. Per questa ragione è importante, per il maturando, acquisire la massima competenza in questo campo.

Questa raccolta di esercizi completamente risolti e ordinati a grandi linee per argomenti è volta proprio a consolidare e approfondire i principali aspetti della goniometria per prepararsi adeguatamente alla seconda prova di matematica per l’esame di maturità.


 
 

Formulario di goniometria

Angoli notevoli.

   

angolo (x) funzioni trigonometriche
deg rad \sin(x) \cos(x) \tan(x) \cot(x)
0° 0 0 1 0 non esiste
30° \frac{\pi}{6} \frac12 \frac{\sqrt3}{2} \frac{\sqrt3}{3} \sqrt3
45° \frac{\pi}{4} \frac{\sqrt2}{2} \frac{\sqrt2}{2} 1 1
60° \frac{\pi}{3} \frac{\sqrt3}{2} \frac12 \sqrt3 \frac{\sqrt3}{3}
90° \frac{\pi}{2} 1 0 non esiste 0
120° \frac{2\pi}{3} \frac{\sqrt3}{2} -\frac12 -\sqrt3 -\frac{\sqrt3}{3}
135° \frac{3\pi}{4} \frac{\sqrt2}{2} -\frac{\sqrt2}{2} -1 -1
150° \frac{5\pi}{6} \frac12 -\frac{\sqrt3}{2} -\frac{\sqrt3}{3} -\sqrt3
180° \pi 0 -1 0 non esiste
210° \frac{7\pi}{6} -\frac12 -\frac{\sqrt3}{2} \frac{\sqrt3}{3} \sqrt3
225° \frac{5\pi}{4} -\frac{\sqrt2}{2} -\frac{\sqrt2}{2} 1 1
240° \frac{4\pi}{3} -\frac{\sqrt3}{2} -\frac12 \sqrt3 \frac{\sqrt3}{3}
270° \frac{3\pi}{2} -1 0 non esiste 0
300° \frac{5\pi}{3} -\frac{\sqrt3}{2} \frac12 -\sqrt3 -\frac{\sqrt3}{3}
315° \frac{7\pi}{4} -\frac{\sqrt2}{2} \frac{\sqrt2}{2} -1 -1
330° \frac{11\pi}{6} -\frac12 \frac{\sqrt3}{2} -\frac{\sqrt3}{3} -\sqrt3
360° 2\pi 0 1 0 non esiste

Identità fondamentale della goniometria.

\[\boxcolorato{superiori}{\forall\alpha\in\mathbb{R},\quad \sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1.}\]


Relazioni tra archi associati.

Per ogni \alpha\in\mathbb{R} valgono le seguenti formule:

(1) \begin{equation*} \boxcolorato{superiori}{ \begin{aligned} \sin\left(-\alpha\right)&=-\sin(\alpha) \\[0.7ex] \cos\left(-\alpha\right)&=\cos(\alpha) \\[0.7ex] \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\pm\alpha\right)&=\cos(\alpha) \\[0.7ex] \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\pm\alpha\right)&=\mp\sin(\alpha) \\[0.7ex] \sin\left(\pi\pm\alpha\right)&=\mp\sin(\alpha) \\[0.7ex] \cos\left(\pi\pm\alpha\right)&=-\cos(\alpha) \\[0.7ex] \sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\pm\alpha\right)&=-\cos(\alpha) \\[0.7ex] \cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\pm\alpha\right)&=\pm\sin(\alpha) \end{aligned} } \end{equation*}

Inoltre si ha, per periodicità delle due funzioni in questione:

(2) \begin{equation*} \boxcolorato{superiori}{ \begin{aligned} \sin\left(\alpha+2k\pi\right)&=\sin(\alpha),\qquad\forall k\in\mathbb{Z} \\[0.7ex] \cos\left(\alpha+2k\pi\right)&=\cos(\alpha),\qquad\forall k\in\mathbb{Z} \end{aligned} } \end{equation*}

Osservazione 1. Sfruttando gli archi associati del seno e coseno si ottengono risultati analoghi per la tangente e la cotangente. Ad esempio:

\[\tan\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=\dfrac{\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)}{\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)}=\dfrac{\cos\alpha}{-\sin\alpha}=-\cot \alpha.\]


Formule notevoli della goniometria.

Per ogni \alpha,\beta\in\mathbb{R} valgono le seguenti relazioni.

\[\quad\]

Formule di addizione:

(3) \begin{equation*} \begin{aligned} \sin(\alpha+\beta)&=\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta),\\ \cos(\alpha+\beta)&=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta). \end{aligned} \end{equation*}

\[\quad\]

Formule di sottrazione:

(4) \begin{equation*} \begin{aligned} \sin(\alpha-\beta)&=\sin(\alpha)\cos(\beta)-\cos(\alpha)\sin(\beta),\\ \cos(\alpha-\beta)&=\cos(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\alpha)\sin(\beta). \end{aligned} \end{equation*}

\[\quad\]

Formule di duplicazione:

(5) \begin{equation*} \begin{aligned} \sin(2\alpha)&=2\sin(\alpha)\cos(\alpha),\\ \cos(2\alpha)&=\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)\\ &=1-2\sin^2(\alpha)\\ &=2\cos^2(\alpha)-1,\\ \tan\left(2\alpha\right)&=\dfrac{2\tan \alpha}{1-\tan^2\alpha}\qquad\forall \alpha \neq \dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2},\,k\in\mathbb{Z}. \end{aligned} \end{equation*}

\[\quad\]

Formule di bisezione:

(6) \begin{equation*} \begin{aligned} \sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)&=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos(\alpha)}{2}},\\ \cos\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)&=\pm\sqrt{\dfrac{1+\cos(\alpha)}{2}},\\ \tan \left(\dfrac{\alpha}{2}\right)&=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}=\\ &=\dfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}= \qquad \forall \alpha \neq k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\\ &=\dfrac{\sin \alpha}{1+\cos\alpha}\qquad \forall \alpha \neq\pi+2k\pi,\,k\in\mathbb{Z}. \end{aligned} \end{equation*}

\[\quad\]

Formule di prostaferesi:

(7) \begin{equation*} \begin{aligned} \sin(\alpha)+\sin(\beta)&=2\sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right),\\[0.5ex] \sin(\alpha)-\sin(\beta)&=2\sin\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right),\\[0.5ex] \cos(\alpha)+\cos(\beta)&=2\cos\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right),\\[0.5ex] \cos(\alpha)-\cos(\beta)&=-2\sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right). \end{aligned} \end{equation*}

\[\quad\]

Formule di Werner:

(8) \begin{equation*} \begin{aligned} \sin(\alpha)\cos(\beta)&=\dfrac {1}{2} \left[ \sin (\alpha+\beta) + \sin (\alpha-\beta)\right],\\[0.5ex] \sin(\alpha)\sin(\beta)&=\dfrac {1}{2} \left[ \cos (\alpha-\beta) - \cos (\alpha+\beta)\right],\\ \cos(\alpha)\cos(\beta)&=\dfrac {1}{2} \left[ \cos (\alpha+\beta) + \cos (\alpha-\beta)\right]. \end{aligned} \end{equation*}


 
 

Esercizi

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