Maturità scientifica 2025: tracce e svolgimenti completi

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Benvenuti nella nostra soluzione completa alla seconda prova di Matematica dell’Esame di Maturità 2025!
In questo articolo analizziamo ciascun problema e quesito della prova di Matematica e ne forniamo una soluzione completa, costituita da spiegazioni dettagliate e grafici esplicativi. Di alcuni punti offriamo più soluzioni distinte, in modo da favorire l’apprendimento e il confronto del lettore anche con metodi diversi da quelli usuali.
L’articolo è in particolare rivolto agli studenti che hanno affrontato la seconda prova di Matematica dell’Esame di Maturità, che desiderano confrontare i propri svolgimenti con delle soluzioni chiare, ma anche ad appassionati e a studenti delle classi inferiori, per i quali questo materiale può essere un utile supporto nella loro preparazione ai loro futuri esami.

Non ti resta che proseguire la lettura e scoprire come risolvere tutti i problemi e i quesiti della seconda prova di Matematica dell’Esame di Maturità 2025!

Segnaliamo anche tutto il materiale della sezione Scuola Superiore, per reperire tantissimo materiale di supporto al tuo studio.

Buona lettura!

Sommario

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In questo articolo proponiamo la traccia e lo svolgimento completo della seconda prova di Matematica dell’Esame di Maturità 2025, per i licei scientifici.

Autori e revisori

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Autori: Luigi De Masi.

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci, Daniele Volpe.

Traccia e svolgimento

$\quad$

Problema 1. Dati $r>0$ e $k<0$ , si considerino la circonferenza $C_r$ , di centro l’origine e raggio $r$ , e la funzione $f_k(x)=k|x|$ .

$\quad$

Verificare che $f_k$ è continua ma non derivabile in $x=0$ qualunque sia il valore di $k$ .
Individuare i due valori di $r$ in corrispondenza dei quali $C_r$ delimita con il grafico di $f_k$ , per opportuni valori di $k$ , un settore circolare nel semipiano $y \leq 0$ di area $\pi$ e contorno di lunghezza $4+\pi$ .

Stabilito che $r=2$ è il maggiore di tali valori, in uno stesso riferimento cartesiano $Oxy$ , tracciare la circonferenza $C_2$ e il grafico della funzione $f_{-1}$ .

Studiare la funzione $g(x)=\sqrt{4-x^2}$ , specificandone dominio, simmetrie, punti di non derivabilità, intervalli di monotonia ed insieme immagine.
Verificare che il grafico di $g$ coincide con la parte di $C_2$ che si trova nel semipiano $y \geq 0$ .

Spiegare perché $g$ non è invertibile nel suo dominio ed esplicitare l’intervallo $[a,b]$ di ampiezza massima, con $b>0$ , nel quale $g$ ammette una funzione inversa $h$ .

Qual è l’espressione analitica di $h$ ?

Sia $A$ un punto del grafico di $g$ , situato nel I quadrante, e siano $M$ e $R$ le sue proiezioni ortogonali sugli assi di riferimento. Determinare le coordinate di $A$ in modo che il quadrilatero $AMOR$ abbia area massima.
Dopo aver verificato che tale quadrilatero è un quadrato, dimostrare che è anche quello di perimetro massimo.

Si consideri la funzione $F(x)=\int_{-2}^x \sqrt{4-t^2}\,\mathrm{d}t$ con $x \in [-2,2]$ . Determinare $F(2)$ e tracciare un grafico di $F$ , dopo averne studiato monotonia e concavità.
Scrivere, inoltre, l’equazione della retta tangente al grafico di $F$ nel suo punto di flesso.

Svolgimento.

Risolviamo separatamente i diversi punti del problema.

Svolgimento punto 1.

L’espressione che definisce la funzione $f_k=k|x|$ coinvolge il valore assoluto e pertanto è possibile esplicitarla mediante una definizione per casi. Ricordando che $|x|=x$ se $x \geq 0$ e $|x|=-x$ se $x <0$ si ha dunque

(1) $\begin{equation*} f(x)= \begin{cases} kx & \text{se } x \geq 0 \\ -kx & \text{se } x < 0. \end{cases} \end{equation*}$

Nella figura 1 rappresentiamo in blu il grafico di una delle funzioni $f_{k}$ .

Maturità Seconda prova Matematica

Figura 1: il grafico di una funzione $f_k$ .

$\quad$

Fissiamo ora un qualunque $k<0$ . Basandosi sulle note proprietà del valore assoluto, si può asserire che $f_k$ è continua ma non derivabile in $0$ , essendo un multiplo non nullo della funzione $|x|$ , che è continua ma non derivabile in $x=0$ .
In questa sede preferiamo però dimostrare queste proprietà in maniera dettagliata. Dall’espressione di $f_k$ in (1), si può agevolmente verificare che essa è continua in $0$ . Infatti

(2) $\begin{equation*} \lim_{x \to 0^+} f_k(x) = \lim_{x \to 0^+} kx = 0; \qquad \lim_{x \to 0^-} f_k(x) = \lim_{x \to 0^-} -kx = 0 \end{equation*}$

e, dall’uguaglianza dei limiti destro e sinistro, segue

(3) $\begin{equation*} \lim_{x \to 0} f_k(x)=0. \end{equation*}$

Poiché ovviamente $f_k(0)=0$ , ne segue che la funzione è continua.

Verifichiamo ora che $f_k$ non è derivabile in $x=0$ . A tal fine, calcoliamo la derivata destra e sinistra di $f_k$ in questo punto e mostriamo che esse sono diverse:

(4) $\begin{equation*} (f_k)'_{+}(0) = \lim_{t \to 0^+} \frac{f_k(t)- f_k(0)}{t} = \lim_{t \to 0^+} \frac{kt - 0}{t} = \lim_{t \to 0^+} k = k, \end{equation*}$

dove nella seconda uguaglianza abbiamo sfruttato (1). Invece, per la derivata sinistra si ha

(5) $\begin{equation*} (f_k)'_{-}(0) = \lim_{t \to 0^-} \frac{f_k(t)- f_k(0)}{t} = \lim_{t \to 0^-} \frac{-kt - 0}{t} = \lim_{t \to 0^-} -k = -k. \end{equation*}$

Poiché la derivata destra e la derivata sinistra sono diverse (in quanto $k \neq -k$ visto che $k<0$ ), $f_k$ non è derivabile in $x=0$ . Più precisamente, poiché le derivate esistono, sono finite ma diverse, $f_k$ presenta un punto angoloso in $x=0$ .

Rappresentiamo ora in figura 2 la circonferenza $C_r$ (in verde) insieme al grafico della funzione $f_k$ (in blu) ed evidenziamo in rosso il settore circolare che esamineremo in questo punto.
$\quad$

Figura 2: il grafico di una funzione $f_k$ in blu, una circonferenza $C_r$ in verde, mentre in rosso è evidenziato il settore circolare in esame.

$\quad$

Poiché il settore circolare è determinato dall’angolo al centro $2\alpha$ dipendente dal parametro $k$ (si veda la figura 2), la lunghezza dell’arco di circonferenza che lo delimita si ricava in proporzione alla lunghezza dell’intera circonferenza, mediante il fattore di proporzionalità $\frac{2\alpha}{2\pi}= \frac{\alpha}{\pi}$ . Lo stesso si può dire dell’area del settore circolare che mantiene lo stesso fattore di proporzionalità con l’area dell’intero cerchio.

In particolare, lunghezza $\ell$ dell’arco di cerchio che delimita in basso il settore è pari a

(6) $\begin{equation*} \ell= 2\pi r \cdot \frac{\alpha}{\pi} = 2\alpha r. \end{equation*}$

Di conseguenza, il perimetro $p$ della regione considerata è pari alla somma di $\ell$ con la lunghezza dei due raggi che costituiscono la rimanente parte del contorno:

(7) $\begin{equation*} p=2r + \ell = 2r + 2\alpha r. \end{equation*}$

L’area $A$ della figura può essere ricavata in proporzione all’area totale del cerchio $\pi r^2$ in base all’angolo $2\alpha$ determinato dal settore circolare:

(8) $\begin{equation*} A = \pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{\pi} = \alpha r^2. \end{equation*}$

Imponendo, secondo i dati del problema, che $p=4+\pi$ e $A=\pi$ , si ottiene il sistema

(9) $\begin{equation*} \begin{cases} 2r + 2\alpha r = 4+\pi \\ r^2 \alpha = \pi. \end{cases} \end{equation*}$

Dalla seconda equazione si ricava $r\alpha=\frac{\pi}{r}$ e, sostituendo nella prima, otteniamo

(10) $\begin{equation*} 2r +2\cdot \frac{\pi}{r} = 4 + \pi \iff r^2 - \frac{(4+\pi)}{2}r + \pi=0. \end{equation*}$

Scrivendo il coefficiente di primo grado come $2+ \frac{\pi}{2}$ , si vede che due numeri il cui prodotto è $\pi$ e la cui somma è $2+\frac{\pi}{2}$ sono appunto $2$ e $\frac{\pi}{2}$ . Ne segue che le soluzioni dell’equazione sono

(11) $\begin{equation*} r=2,\qquad r= \frac{\pi}{2}. \end{equation*}$

Alternativamente le soluzioni possono essere ricavate con la classica formula risolutiva per le equazioni di secondo grado.

Sostituendo ciascuno di tali valori nel sistema (9), si ottiene rispettivamente

(12) $\begin{equation*} \alpha= \frac{\pi}{4}, \qquad \alpha= \frac{4}{\pi}. \end{equation*}$

Poiché $\pi<4$ , si ha $\frac{\pi}{2}<2$ e quindi il maggiore tra i due raggi è $r=2$ . Si osservi che il valore $\alpha=\frac{\pi}{4}$ a esso corrispondente si ottiene proprio quando il grafico di $f_k$ è la bisettrice del secondo e del quarto quadrante, ovvero per $k=-1$ . Rappresentiamo dunque $C_2$ e $f_{-1}$ in un grafico in figura 3.
$\quad$

Figura 3: il grafico di $f_1$ insieme alla circonferenza $C_2$ .