Radice n-esima di un numero complesso – Esercizio 3

Radice n-esima in Numeri Complessi

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Calcolare

    \[\sqrt[3]{-i}\]

 

Soluzione

Avendo un numero complesso z = a + ib, le radici n-esime di z sono

    \[\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{\vert z \vert} \left(\cos \left(\frac{\alpha}{n} + \frac{2k\pi}{n} \right) + i \sin \left(\frac{\alpha}{n} + \frac{2k\pi}{n} \right)\right) \qquad k=0,1,\dots,n-1.\]

Nel nostro caso

    \[a = 01, \quad b=-1, \quad n=3 \qquad \mbox{e} \qquad k=0,1,2\]

con

    \[\vert z \vert = \sqrt{0^2+(-1)^2} = 1 \qquad \mbox{e} \qquad \alpha= \dfrac{3\pi}{2}\]

Da notare che il numero sotto radice ha parte reale pari a zero e parte immaginaria negativa, quindi era immediatamente possibile dedurre l’angolo \alpha pari a 270^\circ

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Applicando la formula abbiamo

    \[\begin{aligned}  \sqrt{z} & = \left(\cos \left(\frac{3\pi}{2}\;\dfrac{1}{3} + \dfrac{2k\pi}{3} \right) + i \sin \left(\frac{3\pi}{2}\;\dfrac{1}{3} + \dfrac{2k\pi}{3} \right)\right) \qquad \qquad k=0,1,2\\\\ & = \left(\cos \left(\frac{\pi}{2}+ \dfrac{2k\pi}{3} \right) + i \sin \left(\frac{\pi}{2} + \dfrac{2k\pi}{3} \right)\right) \qquad \qquad k=0,1,2 \end{aligned}\]

per cui

    \[\begin{aligned} 	& k=0 \qquad \qquad \sqrt[3]{-i} = \cos \left(\frac{\pi}{2} \right) + i \sin \left(\frac{\pi}{2} \right)  = i \\\\ 	& k=1 \qquad \qquad \sqrt[3]{-i} = \cos \left(\frac{\pi}{2}+ \dfrac{2\pi}{3} \right) + i \sin \left(\frac{\pi}{2} + \dfrac{2\pi}{3} \right) = \\\\ 	& \qquad \qquad \qquad \qquad = \cos \left(\frac{7\pi}{6} \right) + i \sin \left(\frac{7\pi}{6} \right) = \\\\ 	& \qquad \qquad \qquad \qquad = \cos \left( \pi + \frac{\pi}{6} \right) + i \sin \left(\pi + \frac{\pi}{6} \right) = - \dfrac{1}{2} (\sqrt{3}+i)\\\\ 	& k=2 \qquad \qquad \sqrt[3]{-i} =  \cos \left(\frac{\pi}{2}+ \dfrac{4\pi}{3} \right) + i \sin \left(\frac{\pi}{2} + \dfrac{4\pi}{3} \right) = \\\\ 	& \qquad \qquad \qquad \qquad = \cos \left(\frac{11\pi}{6} \right) + i \sin \left(\frac{11\pi}{6}\right) =\\\\ 	& \qquad \qquad \qquad \qquad = \cos \left(-\frac{\pi}{6} \right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2} (\sqrt{3}-i) \end{aligned}\]

quindi

    \[\boxed{ \sqrt[3]{-i} = \dfrac{1}{2} (\sqrt{3}-i),  \sqrt[3]{-i}=- \dfrac{1}{2} (\sqrt{3}+i),  \sqrt[3]{-i} = i }\]


Fonte: Matematica.verde 3 – Zanichelli