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Radice n-esima di un numero complesso – Esercizio 1

Radice n-esima in Numeri Complessi

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Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Calcolare

    \[\sqrt{-16}\]

 

Soluzione

Avendo un numero complesso z = a + ib, le radici n-esime di z sono

    \[\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{\vert z \vert} \left(\cos \left(\frac{\alpha}{n} + \frac{2k\pi}{n} \right) + i \sin \left(\frac{\alpha}{n} + \frac{2k\pi}{n} \right)\right) \qquad k=0,1,\dots,n-1.\]

Nel nostro caso

    \[a = -16, \quad b=0, \quad n=2 \qquad \mbox{e} \qquad k=0,1\]

con

    \[\vert z \vert = \sqrt{16^2+0^2} = 16 \qquad \mbox{e} \qquad \alpha= \arctan \left(\dfrac{0}{16} \right) + \pi = \pi\]

Da notare che il numero sotto radice ha parte immaginaria pari a zero e parte reale negativa, quindi era immediatamente possibile dedurre l’angolo \alpha pari ad un angolo piatto

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Applicando la formula abbiamo

    \[\sqrt{z} = 4 \left(\cos \left(\frac{\pi}{2} + k\pi \right) + i \sin \left(\frac{\pi}{2} + k\pi \right)\right) \qquad \qquad k=0,1\]

per cui

    \[\begin{aligned} & k=0 \qquad \qquad \sqrt{-16} = 2 \left(\cos \left(\frac{\pi}{2} \right) + i \sin \left(\frac{\pi}{2} \right)\right) = 4i \\\\ & k=1 \qquad \qquad \sqrt{-16} = 2 \left(\cos \left(\frac{\pi}{2} + \pi \right) + i \sin \left(\frac{\pi}{2} + \pi \right) \right) = -4i \end{aligned}\]

quindi

    \[\boxed{\sqrt{-16}= \pm 4i}\]


Fonte: Matematica.verde 3 – Zanichelli
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