Forma trigonometrica – Esercizio 3

Radice n-esima in Numeri Complessi

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Scrivere il seguente numero complesso in forma trigonometrica

    \[z=-\dfrac{1}{4}\]

 

Soluzione

Il numero complesso in forma trigonometrica è

    \[z = \vert z \vert \left(\cos \theta + i \sin \theta \right)\]

dunque cerchiamo \vert z \vert e \theta.
Abbiamo \Re(z) = -\frac{1}{4} e \Im(z) = 0, dunque il modulo di z è dato da

    \[\vert z \vert = \sqrt{\Re(z)^2 + \Im(z)^2} = \dfrac{1}{4}\]

e \theta pari a

    \[\theta = \arctan\left(\dfrac{\Im(z)}{\Re(z)}\right) = \arctan\left(\dfrac{0}{-1/4}\right) = \arctan 0 = \pi\]

Scegliamo \theta = \pi perchè il numero complesso -1/4 sta sul semiasse reale negativo formando così un angolo di \pi.
Dunque

    \[z = \dfrac{1}{4} \left(\cos \pi+ i \sin \pi\right)\]


Fonte: Matematica.verde 3 – Zanichelli