Forma trigonometrica – Esercizio 2

Radice n-esima in Numeri Complessi

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Scrivere il seguente numero complesso in forma trigonometrica

    \[z=-2i\]

 

Soluzione

Il numero complesso in forma trigonometrica è

    \[z = \vert z \vert \left(\cos \theta + i \sin \theta \right)\]

dunque cerchiamo \vert z \vert e \theta.
Abbiamo \Re(z) = 0 e \Im(z) = -2, dunque il modulo di z è dato da

    \[\vert z \vert = \sqrt{\Re(z)^2 + \Im(z)^2} = \sqrt{(2)^2} = 2\]

e \theta pari a

    \[\theta = \arctan\left(\dfrac{\Im(z)}{\Re(z)}\right)\]

ma nel nostro caso \Re(z) = 0 quindi non abbiamo un valore definito (perché non si può dividere per zero) ed osserviamo che il numero complesso -2i sta sul semiasse immaginario negativo avendo così un angolo di \frac{3}{2}\pi. Osservazione: quanto trovato è in accordo con quanto detto precedentemente, infatti la tangente non è definita in \frac{3}{2}\pi.
Dunque

    \[z = 2 \left(\cos \frac{3}{2}\pi+ i \sin \frac{3}{2}\pi\right)\]


Fonte: Matematica.verde 3 – Zanichelli