Forma trigonometrica – Esercizio 1

Radice n-esima in Numeri Complessi

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Scrivere il seguente numero complesso in forma trigonometrica

    \[z=6\sqrt{2} + 6\sqrt{2} i\]

 

Soluzione

Il numero complesso in forma trigonometrica è

    \[z = \vert z \vert \left(\cos \theta + i \sin \theta \right)\]

dunque cerchiamo \vert z \vert e \theta.
Abbiamo \Re(z) = 6\sqrt{2} e \Im(z) = 6\sqrt{2}, dunque il modulo di z è dato da

    \[\vert z \vert = \sqrt{\Re(z)^2 + \Im(z)^2} = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + (6\sqrt{2})^2} = \sqrt{144} = 12\]

e \theta pari a

    \[\theta = \arctan\left(\dfrac{\Im(z)}{\Re(z)}\right) = \arctan 1 = \dfrac{\pi}{4}\]

Per la scelta dell’angolo osserviamo che il numero complesso si trova nel primo quadrante del piano di Gauss pertanto l’angolo è pari a \pi/4.
Dunque

    \[z = 12 \left(\cos \dfrac{\pi}{4}+ i \sin \dfrac{\pi}{4}\right)\]


Fonte: Matematica.verde 3 – Zanichelli