Esercizio. 
Semplificare la seguente espressione
Semplificare la seguente espressione
![\[\dfrac{1+i}{(2-i)^2}-\dfrac{i}{2+i}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2df833e335cc0e293526b72ed0531127_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Soluzione
Procediamo come segue ricordando che 
:
![\[\begin{aligned} \dfrac{1+i}{(2-i)^2}-\dfrac{i}{2+i} & \overset{\star}{=} \dfrac{1+i}{2^2 + i^2 - 4i}-\dfrac{i}{2+i} = \dfrac{1+i}{4-1- 4i}-\dfrac{i}{2+i} \\\\ & = \dfrac{1+i}{3 - 4i}-\dfrac{i}{2+i} \overset{\star\star}{=} \dfrac{1+i}{3 - 4i} \cdot \dfrac{3+4i}{3+4i} -\dfrac{i}{2+i} \cdot \dfrac{2-i}{2-i} = \\\\ & = \dfrac{(1+i)(3+4i)}{3^2 - (4i)^2} -\dfrac{i(2-i)}{2^2 - i^2} = \dfrac{3+4i^2 +7i}{9 + 16} -\dfrac{2i-i^2}{4 + 1} = \\\\ & = \dfrac{-1 +7i}{25} -\dfrac{2i+1}{5} = \dfrac{-3 +21i - 30i - 15}{75} = \\\\ & = \dfrac{-18 -9i}{75} = \dfrac{-6 -3i}{25}\ \end{aligned}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-09a913d21197030c856b6e0c63d84ff9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
dove in 
abbiamo utilizzato il quadrato di binomio, poi in 
abbiamo moltiplicato e diviso per il denominatore cambiato di segno in mezzo per poter sfruttare il prodotto notevole 
e nell’ultimo passaggio abbiamo semplificato dividendo per 
.
Fonte: Matematica.verde 3 – Zanichelli