Esercizio 2 – Espressione con i numeri complessi

Espressioni in Numeri Complessi

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Semplificare la seguente espressione

    \[\dfrac{1+i}{(2-i)^2}-\dfrac{i}{2+i}\]

 

Soluzione

Procediamo come segue ricordando che i^2=-1:

    \[\begin{aligned} 	\dfrac{1+i}{(2-i)^2}-\dfrac{i}{2+i}  & \overset{\star}{=}	\dfrac{1+i}{2^2 + i^2 - 4i}-\dfrac{i}{2+i} = \dfrac{1+i}{4-1- 4i}-\dfrac{i}{2+i} \\\\ 	& = \dfrac{1+i}{3 - 4i}-\dfrac{i}{2+i} \overset{\star\star}{=} \dfrac{1+i}{3 - 4i} \cdot \dfrac{3+4i}{3+4i} -\dfrac{i}{2+i} \cdot \dfrac{2-i}{2-i} = \\\\ 	& = \dfrac{(1+i)(3+4i)}{3^2 - (4i)^2} -\dfrac{i(2-i)}{2^2 - i^2} = \dfrac{3+4i^2 +7i}{9 + 16} -\dfrac{2i-i^2}{4 + 1} = \\\\ 	& = \dfrac{-1 +7i}{25} -\dfrac{2i+1}{5} = \dfrac{-3 +21i - 30i - 15}{75} = \\\\ 	& = \dfrac{-18 -9i}{75} = \dfrac{-6 -3i}{25}\ \end{aligned}\]

dove in \star abbiamo utilizzato il quadrato di binomio, poi in \star\star abbiamo moltiplicato e diviso per il denominatore cambiato di segno in mezzo per poter sfruttare il prodotto notevole (A-B)(A+B)=A^2-B^2 e nell’ultimo passaggio abbiamo semplificato dividendo per 3.


Fonte: Matematica.verde 3 – Zanichelli