Esercizio 1 – Espressione con i numeri complessi

Espressioni in Numeri Complessi

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Semplificare la seguente espressione

    \[\dfrac{4i}{1-2i}+\dfrac{1-i}{1+2i} +\dfrac{12}{5}\]

 

Soluzione

Procediamo come segue ricordando che i^2=-1:

    \[\begin{aligned} \dfrac{4i}{1-2i}+\dfrac{1-i}{1+2i} +\dfrac{12}{5} & \overset{\star}{=}	\dfrac{4i}{1-2i} \cdot \dfrac{1+2i}{1+2i}+\dfrac{1-i}{1+2i} \cdot \dfrac{1-2i}{1-2i} +\dfrac{12}{5} = \\\\ & = \dfrac{4i(1+2i)}{1^2-(2i)^2} + \dfrac{(1-i)(1-2i)}{1^2-(2i)^2} + \dfrac{12}{5} = \\\\ & = \dfrac{4i+8i^2}{1 -4i^2} + \dfrac{1-3i + 2i^2}{1-4i^2} + \dfrac{12}{5} = \\\\ & = \dfrac{4i-8}{1 +4} + \dfrac{1-3i -2}{1+4} + \dfrac{12}{5} = \\\\ & = \dfrac{4i-8}{5} + \dfrac{-1-3i}{5} + \dfrac{12}{5} = \\\\ & = \dfrac{4i-8 -1-3i + 12}{5} = \dfrac{3 + i}{5} \end{aligned}\]

dove in \star abbiamo moltiplicato e diviso per il denominatore cambiato di segno in mezzo per poter sfruttare il prodotto notevole (A-B)(A+B)=A^2-B^2.


Fonte: Matematica.verde 3 – Zanichelli