Esercizio Misto 1 – Numeri complessi Scuola Superiore

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Trova per quali valori di k il prodotto

    \[(k+3+ik) \cdot (1-2ik)\]

risulta un numero reale.

 

Soluzione

Innanzitutto andiamo a svolgere il prodotto

    \[\begin{aligned}  	(k+3+ik) \cdot (1-2ik) & = k - 2ik^2 +3 - 6ik + ik -2i^2k^2 = \\\\ 	& = k - 2ik^2 +3 - 6ik + ik +2k^2 = \\\\ 	& \overset{\star}{=} k+2k^2 +3 + i (-2k^2-5k) \end{aligned}\]

dove in \star abbiamo separato parte reale e parte immaginaria. Ora, dato che vogliamo k affinché

    \[k+2k^2 +3 + i (-2k^2-5k)\]

sia un numero reale, la parte immaginaria deve essere uguale a zero

    \[-2k^2-5k = 0 \quad \Rightarrow \quad k (2k+5)=0 \quad \Rightarrow \quad k = 0 \, \vee \, k = -\dfrac{5}{2}\]


Fonte: Matematica.verde 3 – Zanichelli