Equazioni in C – Esercizio 5

Equazioni in Numeri complessi

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Esercizio.  (\bigstar\bigstar\largewhitestar) Risolvere in \mathbb{C} la seguente equazione

    \[x^2-6i=0\]

 

Soluzione

Avendo un numero complesso z = a + ib, le radici n-esime di z sono

    \[\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{\vert z \vert} \left(\cos \left(\frac{\alpha}{n} + \frac{2k\pi}{n} \right) + i \sin \left(\frac{\alpha}{n} + \frac{2k\pi}{n} \right)\right) \qquad k=0,1,\dots,n-1.\]

Nel nostro caso vogliamo trovare

    \[x^2 = 6i \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt{6i}\]

quindi

    \[\vert z \vert = \sqrt{0^2+6^2} = 6 \qquad \qquad\mbox{e} \qquad\qquad \alpha = \dfrac{\pi}{2}\]

pertanto

    \[\sqrt{6i} = \sqrt{6} \left(\cos \left(\frac{\pi}{4} + k\pi \right)+ i \sin \left(\frac{\pi}{4} + k\pi \right)\right) \qquad k=0,1\]

Sostituendo k abbiamo

    \[\begin{aligned} 	& k =0 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{6i} = \sqrt{6} \left(\cos \left(\frac{\pi}{4}\right)+ i \sin \left(\frac{\pi}{4} \right)\right) = \sqrt{6}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + i \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = \sqrt{3} + i\sqrt{3}\\\\ 	& k =1 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{6i} = \sqrt{6} \left(\cos \left(\frac{\pi}{4}+\pi\right)+ i \sin \left(\frac{\pi}{4} +\pi\right)\right) = \sqrt{6}\left(\dfrac{-\sqrt{2}}{2} - i \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = -\sqrt{3} - i\sqrt{3}\\\\	 \end{aligned}\]

e concludiamo che

    \[\boxed{ x = \pm \sqrt{3} (1+i) }\]


Fonte: Matematica.verde 3 – Zanichelli