Equazioni in C – Esercizio 4

Equazioni in Numeri complessi

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Esercizio. $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ Risolvere in $\mathbb{C}$ la seguente equazione

$x^4+6x^2+25=0$

Soluzione

Sostituiamo $t=x^2$ ottenendo

$t^2+6t+25=0$

Applichiamo la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado

$t = -3 \pm \sqrt{-16} = -3 \pm \sqrt{-1} \cdot \sqrt{16} = - 3 \pm 4i$

da cui

$x^2 = - 3 \pm 4i$

Osserviamo che

$- 3 + 4i = [\pm (1 + 2i)]^2 \qquad \mbox{e} \qquad - 3 - 4i = [\pm (1 - 2i)]^2$

per cui

$x^2 = [\pm (1 + 2i)]^2 \quad \Rightarrow \quad x=\pm (1 + 2i)$

e

$x^2 = [\pm (1 - 2i)]^2 \quad \Rightarrow \quad x=\pm (1 - 2i)$

Concludiamo che

$\boxed{x = \pm (1 - 2i), x = \pm (1 + 2i)}$

Fonte: Matematica.verde 3 – Zanichelli

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