Equazioni in C – Esercizio 4

Equazioni in Numeri complessi

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Esercizio.  (\bigstar\bigstar\largewhitestar) Risolvere in \mathbb{C} la seguente equazione

    \[x^4+6x^2+25=0\]

 

Soluzione

Sostituiamo t=x^2 ottenendo

    \[t^2+6t+25=0\]

Applichiamo la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado

    \[t = -3 \pm \sqrt{-16} = -3 \pm \sqrt{-1} \cdot \sqrt{16} = - 3 \pm 4i\]

da cui

    \[x^2 = - 3 \pm 4i\]

Osserviamo che

    \[- 3 + 4i = [\pm (1 + 2i)]^2 \qquad \mbox{e} \qquad - 3 - 4i = [\pm (1 - 2i)]^2\]

per cui

    \[x^2 = [\pm (1 + 2i)]^2 \quad \Rightarrow \quad x=\pm (1 + 2i)\]

e

    \[x^2 = [\pm (1 - 2i)]^2 \quad \Rightarrow \quad x=\pm (1 - 2i)\]

Concludiamo che

    \[\boxed{x = \pm (1 - 2i), x = \pm (1 + 2i)}\]


Fonte: Matematica.verde 3 – Zanichelli