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Sistemi di equazioni logaritmiche: esercizi svolti

Sistemi in Logaritmi

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Autori e revisori

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Raccolta di esercizi sui sistemi di equazioni logaritmiche.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Revisori: Luigi De Masi, Daniele Volpe.


 
 

Notazioni

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\log x    Logaritmo naturale (in base e=2,71\dots) del numero reale x.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere il seguente sistema nel campo dei numeri reali:

\[ \begin{cases} \log_{2}x-\log_{2}y = 2,\\ x-2y = 1. \end{cases} \]

Svolgimento.

Affinché i logaritmi siano ben definiti occorre che

\[ x>0,\qquad y>0. \]

Applicando le proprietà dei logaritmi alla prima equazione si ha

\[ \log_{2}\!\Bigl(\tfrac{x}{y}\Bigr)=2 \iff \frac{x}{y}=4, \iff \quad x = 4y. \]

Sostituendo nella seconda si ottiene

\[4y-2y=1\iff 2y=1\iff y=\frac12.\]

Allora x = 4y = 2. Entrambe le variabili risultano positive, quindi la coppia è una soluzione ammissibile:

\[ \boxcolorato{superiori}{ (x,y) = \left (2,\frac12 \right ).} \]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere il seguente sistema nel campo dei numeri reali:

\[ \begin{cases} \log_{3}(x-y)=1,\\ \log_{3}x+\log_{3}y=2\log_{3}2. \end{cases} \]

Svolgimento.

Affinché i logaritmi siano ben definiti, occorre che gli argomenti siano positivi:

\[ \begin{cases} x-y>0 \\ x>0 \\ y>0 \end{cases} \iff x>0, \,\,y>0,\,\, x>y. \]

Dalla prima equazione segue x-y=3. Osserviamo La seconda si può riscrivere come \log_{3}(xy)=\log_{3}4, quindi xy=4.

Il sistema algebrico diventa

\[ \begin{aligned} \begin{cases} x-y=3,\\ xy=4. \end{cases} & \iff \begin{cases} x=3+y \\ (3+y)y=4 \end{cases} \\ & \iff \begin{cases} x=3+y \\ y^2+3y-4=0 \end{cases} \\ & \iff (x,y)= (-1,-4) \,\,\vee \,\, (x,y)=(4,1). \end{aligned} \]

Scartando la soluzione con x e y negativi in quanto non soddisfacenti la condizione di esistenza, si ottiene

\[ \boxcolorato{superiori}{(x,y)=(4,1).} \]


 
 

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