Sistemi di equazioni logaritmiche

Sistemi in Logaritmi

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Raccolta di esercizi sui sistemi di equazioni logaritmiche.

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Revisori: Luigi De Masi, Daniele Volpe.

Notazioni

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$\log x$ , $\ln x$

Logaritmo naturale (in base $e=2,71\dots$ ) del numero reale $x$ .

Esercizi

$\quad$

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere il seguente sistema nel campo dei numeri reali:

$\begin{cases} \log_{2}x-\log_{2}y = 2,\\ x-2y = 1. \end{cases}$

Svolgimento.

Affinché i logaritmi siano ben definiti occorre che

$x>0,\qquad y>0.$

Applicando le proprietà dei logaritmi alla prima equazione si ha

$\log_{2}\!\Bigl(\tfrac{x}{y}\Bigr)=2 \iff \frac{x}{y}=4, \iff \quad x = 4y.$

Sostituendo nella seconda si ottiene

$4y-2y=1\iff 2y=1\iff y=\frac12.$

Allora $x = 4y = 2$ . Entrambe le variabili risultano positive, quindi la coppia è una soluzione ammissibile:

$\boxcolorato{superiori}{ (x,y) = \left (2,\frac12 \right ).}$

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere il seguente sistema nel campo dei numeri reali:

$\begin{cases} \log_{3}(x-y)=1,\\ \log_{3}x+\log_{3}y=2\log_{3}2. \end{cases}$

Svolgimento.

Affinché i logaritmi siano ben definiti, occorre che gli argomenti siano positivi:

$\begin{cases} x-y>0 \\ x>0 \\ y>0 \end{cases} \iff x>0, \,\,y>0,\,\, x>y.$

Dalla prima equazione segue $x-y=3$ . Osserviamo La seconda si può riscrivere come $\log_{3}(xy)=\log_{3}4$ , quindi $xy=4$ .

Il sistema algebrico diventa

$\begin{aligned} \begin{cases} x-y=3,\\ xy=4. \end{cases} & \iff \begin{cases} x=3+y \\ (3+y)y=4 \end{cases} \\ & \iff \begin{cases} x=3+y \\ y^2+3y-4=0 \end{cases} \\ & \iff (x,y)= (-1,-4) \,\,\vee \,\, (x,y)=(4,1). \end{aligned}$

Scartando la soluzione con $x$ e $y$ negativi in quanto non soddisfacenti la condizione di esistenza, si ottiene

$\boxcolorato{superiori}{(x,y)=(4,1).}$

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere il seguente sistema nel campo dei numeri reali:

$\begin{cases} \log_{3}(2x-y)=0\\ 3^{y}+3^{x}-\dfrac43=0 \end{cases}$

Svolgimento.

Il sistema impone anzitutto $2x-y>0$ perché l’argomento del logaritmo deve essere positivo. Da

$\log_{3}(2x-y)=0 \iff 2x-y=3^{0}=1,$

ricaviamo subito $y=2x-1$ . Sostituendo nella seconda equazione otteniamo

$3^{\,2x-1}+3^{\,x}-\frac43=0$

e, ponendo $t=3^{x}$ , si ha $3^{\,2x-1}=3^{\,2x}/3=t^{2}/3$ e quindi

$\frac{t^{2}}{3}+t-\frac43=0 \iff t^{2}+3t-4=0 \iff t=1 \,\,\vee \,\, t=-4.$

Scartando $t=-4$ in quanto $t=3^x>0$ , si ottiene

$3^x=1 \iff x=0,$

che, sostituito nella condizione $y=2x-1$ , fornisce $y=-1$ . Tale soluzione è accettabile in auqnato soddisfa la condizione di esistenza e dunque

$\boxcolorato{superiori}{\bigl(x,y\bigr)=(0,-1).}$

Esercizio 4 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere il seguente sistema nel campo dei numeri reali:

$\begin{cases} 4\log_{2}x-\log_{2}y^{2}=4,\\ \log_{2}x+\log_{2}y = 4. \end{cases}$

Svolgimento.

Affinché i logaritmi esistano occorre che $x>0$ e che $y>0$ . Notando dunque $\log_2 y^2=2\log_2 y$ e ponendo $a=\log_{2}x$ e $b=\log_{2}y$ , il sistema diventa

$\begin{cases} 4a-2b = 4,\\ a+b = 4. \end{cases} \iff (a,b)=(2,2).$

Da ciò segue che

$\log_2 x = \log_2 y= 2 \iff x=y=2^2=4,$

che soddisfa la condizione di esistenza. L’unica soluzione reale è dunque

$\boxcolorato{superiori}{(x,y)=(4,4).}$

Esercizio 5 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere il seguente sistema nel campo dei numeri reali:

$\begin{cases} x^{2}+y^{2}=\dfrac{37}{9},\\ \log_{3}x+\log_{3}y=\log_{3}2-1. \end{cases}$

Svolgimento.

Il sistema richiede innanzitutto $x>0$ e $y>0$ affinché i logaritmi siano ben definiti. Osserviamo poi che $\log_{3}x+\log_{3}y=\log_{3}(xy)$ ; la seconda equazione diventa dunque

$\log_{3}(xy)=\log_{3}2-1=\log_{3}2-\log_{3}3=\log_{3}\!\Bigl(\frac23\Bigr),$

da cui segue $xy=\dfrac23$ .

Il sistema è quindi equivalente a

$\begin{aligned} \begin{cases} x^{2}+y^{2}=\frac{37}{9} \\ xy=\frac23 \end{cases} \end{aligned}$

Si ha dunque

$(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy = =\frac{37}{9}+2\cdot\frac23 =\frac{37}{9}+\frac{4}{3} =\frac{49}{9},$

da cui, ricordando $x,y>0$ , segue $x+y=\frac{7}{3}$ . Sostituendo $y=\frac{2}{3x}$ si ottiene l’equazione

$x+ \frac{2}{3x} = \frac{7}{3} \iff 3x^2 + 2x - 7 = 0 \iff x= 2,\,\,\vee \,\, x=\frac{1}{3}.$

Sostituendo in $y=\frac{2}{3x}$ o notando che $y$ soddisfa la stessa equazione di $x$ per via della simmetria del sistema, si ottengono le soluzioni

$\boxcolorato{superiori}{\;(x,y)=\left (2,\frac13 \right )\quad\text{oppure}\quad(x,y)=\left (\frac13,2 \right ).\;}$

Esercizio 6 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere il seguente sistema nel campo dei numeri reali:

$\begin{cases} \log_{2}x-\log_{2}\bigl((y+1)^{2}\bigr)=2,\\ \log_{\,y+1}x=1. \end{cases}$

Svolgimento.

Le condizioni di esistenza si ottengono imponendo gli argomenti dei logaritmi strettamente positivi e le basi appartenenti a $(0,1)\cup (1,+\infty)$ :

$\begin{cases} x>0 \\ (y+1)^2>0 \\ 0 < y+1 < 1 \,\,\vee \,\, y+1>1 \end{cases} \iff \begin{cases} x>0 \\ -1 < y < 0 \,\,\vee \,\, y>0, \end{cases}$

in quanto la condizione $(y+1)^2>0$ è implicata dalla terza condizione.

La seconda equazione del sistema originario è equivalente a

$x=(y+1)^{1}=y+1,$

Sostituendo nella prima equazione:

$\log_{2}(y+1)-2\log_{2}(y+1)=2 \iff \log_{2}(y+1)=-2.$

Ne segue

$y+1 = 2^{-2}=\frac14 \iff y = -\frac34$

$x = y+1 = \frac14.$

Le condizioni di esistenza sono verificate, pertanto la soluzione del sistema è unica e vale

$\boxcolorato{superiori}{\left(x,y\right)=\left (\frac14,\;-\frac34 \right ).}$

Esercizio 7 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere il seguente sistema nel campo dei numeri reali:

$\begin{cases} 3^{x}\left(\dfrac19\right)^{y}=27,\\ \displaystyle\frac12\,\log_{2}(x-y)=\log_{4}x, \end{cases}$

Svolgimento.

Effettuando il cambio di base $\frac{1}{2}\log_2 (x-y)=\log_4 (x-y)$ nella seconda equazione, essa diventa

$\log_4 (x-y)= \log_4 x \iff x-y=x \iff y=0.$

Sostituendo nella prima e notando $27=3^3$ , si ha

$3^x=3^3 \iff x=3.$

Tale soluzione rende positivi gli argomenti dei logaritmi, dunque sono accettabili:

$\boxcolorato{superiori}{(x,y)=(3,0).}$

Esercizio 8 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere il seguente sistema nel campo dei numeri reali:

$\begin{cases} \log_{xy} 12 = 1,\\ 2^{\,x-4}\cdot 3^{\,x-1}= \dfrac{6^{y}}{8}. \end{cases}$

Svolgimento.

Dalla prima equazione segue

$12=(xy)^{1}\;\Longrightarrow\;xy=12.$

Ricordando $6^y=2^y \cdot 3^y$ e moltiplicando per $8=2^3$ , la seconda equazione diventa

$2^{x-1} \cdot 3^{x-1}=6^y \iff 6^{x-1}=6^y \iff y=x-1.$

Sostituendo nella condizione $xy=12$ si ottiene

$x^2-x-12=0 \iff x=4 \,\,\vee \,\, x=-3$

che conducono rispettivamente a $y=3$ oppure $y=4$ .

Entrambe queste coppie di soluzioni sono accettabili in quanto per entrambe la base del logaritmo nella prima equazione del sistema è pari a $12$ . Dunque le uniche soluzioni sono

$\boxcolorato{superiori}{ (x,y) \in \{(4,3),(-3,-4)\}. }$

Esercizio 9 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere il seguente sistema nel campo dei numeri reali:

$\begin{cases} \log_{5}(y-x^{3})-1 = 2\log_{5}y\\ 2x = -\,5^{\log_{5}y} \end{cases}$

Svolgimento.

Dedurremo alcune conseguenze delle equazioni senza preoccuparci di determinare il campo di esistenza: verificheremo al momento opportuno se le soluzioni trovate sono o meno accettabili.

Dalla definizione di logaritmo in base $5$ applicata alla seconda equazione segue

$2x=-y \iff y=-2x.$

Sostituendo nella prima equazione e applicando le proprietà dei logaritmi si ottiene

$\log_5 \frac{-2x-x^3}{5} = \log_5 (-2x)^2 \iff x^3 + 20x^2 +2x = 0 \iff x= 0\,\,\vee \,\, x^2+20x +2 =0.$

La soluzione $x=0$ è da scartare in quanto produrrebbe $y=0$ e ciò renderebbe indefiniti i logaritmi nel sistema originario. Risolvendo invece l’equazione quadratica (ad esempio completando il quadrato) si ha

$x^2+20x+100 - 98 =0 \iff (x+10)^2 = 98 \iff x = -10 \pm 7\sqrt{2}.$

Osserviamo che entrambe le soluzioni sono negative in quanto $10=\sqrt{100}>\sqrt{98}$ , quindi $y=-2x>0$ è positivo e ciò rende ben definiti i termini $\log_5 y$ . Anche il primo logaritmo del sistema è ben definito in quanto $y=-2x>0$ e $-x^3>0$ , dunque la somma è positiva. Ne segue che le soluzioni del sistema sono

$\boxcolorato{superiori}{(x,y) \in \left \{ \left (-10 - 7\sqrt{2},20+14\sqrt{2}\right ),\left (-10 + 7\sqrt{2},20-14\sqrt{2}\right ) \right \}. }$

Esercizio 10 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare i valori di $a,b,c$ che soddisfano il sistema

$\begin{cases} \log_b(a) = 2; \\ \log_b(c-3) = 3; \\ \log_a(c+5) = 2. \end{cases}$

Svolgimento.

Innanzitutto, i valori delle incognite per cui il sistema ha significato sono $a, b \ne 1$ e $c > 3$ (condizioni che vanno aggiunte all’ipotesi $a, b, c > 0$ ). Usando la definizione di logaritmo, riscriviamo le espressioni iniziali sotto forma di potenze:

$\begin{cases} b^2 = a; \\ b^3 = c-3; \\ a^2 = c+5. \end{cases}$

Dalla prima, abbiamo $a^2 = b^4$ , mentre dalle ultime due abbiamo:

$b^3 = c-3 = (c+5) - 8 = a^2 - 8 = b^4-8.$

Questa è un’equazione per $b$ . Per trovarne le soluzioni, consideriamo la funzione $f(b) = b^4-b^3-8$ , che ha uno zero per $b = 2$ (si può trovare per tentativi usando il teorema della radici razionali). Inoltre $f'(b) = 4b^3 - 3b^2 = b^2(4b-3)$ è positiva per $b > 3/4$ . Quindi $f$ è crescente (decrescente) per $b > 3/4$ ( $b < 3/4$ ). Dato che $f(0) = -8$ , l’unica radice positiva di $f$ è proprio $b = 2$ , che è l’unica soluzione ammissibile per il sistema di partenza.

Sostituendo si ha quindi un solo valore ammesso di $a = b^2 = 4$ . Si trova anche $c = a^2-5 = 11$ . I valori trovati di $a$ , $b$ e $c$ sono consistenti con le condizioni di esistenza, per cui la (sola) soluzione trovata è accettabile. Concludiamo che l’unica soluzione del sistema è

$\boxcolorato{superiori}{a=4, \quad b=2, \quad c=11.}$

Esercizio 11 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Siano $a$ , $b$ , $c$ tre numeri reali positivi, diversi da 1. Determinare il numero di soluzioni del seguente sistema di equazioni:

$\begin{cases} \log_a(b) = c; \\ \log_b(a) = c + \dfrac{3}{2}; \\ \log_c(a) = b. \end{cases}$

Svolgimento.

Combinando le prime due equazioni, e ricordando la proprietà dei logaritmi $\log_b(a) = 1/\log_a(b)$ , abbiamo:

$\begin{gathered} c + \frac{3}{2} = \log_b(a) = \frac{1}{\log_a(b)} = \frac{1}{c}; \\ c^2 + \frac{3}{2}c = 1; \\ 2c^2 + 3c - 2 = 0. \end{gathered}$

Questa è un’equazione di secondo grado con soluzioni $c = -2$ e $c = 1/2$ , ma la prima va esclusa perché $c > 0$ . Inserendo $c = 1/2$ nelle restanti equazioni: Equazioni Logaritmiche

$\begin{cases} \log_b(a) = c + \dfrac{3}{2} = 2 \\ \log_c(a) = \log_{1/2}(a) = b \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases} a = b^2 \\ a = \left(\dfrac{1}{2}\right)^b = 2^{-b} \end{cases}$

Il sistema risultante non è risolubile in termini di funzioni elementari, ma possiamo concludere graficamente che possiede una sola coppia di soluzioni reali.

$\quad$

Infatti, la funzione $f(b) = b^2$ è crescente per $b \geq 0$ , tende a $+\infty$ per $b \to +\infty$ , e $f(0) = 0$ . Allo stesso tempo, la funzione $g(b) = 2^{-b}$ è descrescente, tende a 0 per $b\to+\infty$ , e $g(0) = 1$ . Esiste quindi un’unica intersezione tra i grafici delle due curve. Il sistema possiede quindi