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Sistemi di disequazioni logaritmiche: esercizi svolti

Sistemi in Logaritmi

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Sommario

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Raccolta di esercizi sui sistemi di disequazioni logaritmiche.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Revisori: Luigi De Masi, Daniele Volpe.


 
 

Notazioni

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\log x    Logaritmo naturale (in base e=2,71\dots) del numero reale x.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere il seguente sistema di disequazioni nel campo dei numeri reali:

\[ \begin{cases} \displaystyle \log_{3}\!\left(\frac{x}{\,x-1}\right) < 2\\[4pt] \displaystyle \log_{\frac13}(x-1) < \dfrac12. \end{cases} \]

Svolgimento.

Il logaritmo nella seconda disequazione esiste solo per x>1. Poiché per tali valori di x l’argomento del primo logaritmo è positivo, il dominio del sistema è x>1.

Poiché il primo logaritmo ha base 3>1 (crescente) mentre il secondo ha base \tfrac13<1 (decrescente), il sistema è equivalente a

\[ \begin{cases} \dfrac{x}{x-1}>0,\\[4pt] x-1>0,\\[4pt] \dfrac{x}{x-1}<9,\\[4pt] x-1>\dfrac{1}{\sqrt3}. \end{cases} \]

Dalle prime due disuguaglianze segue x>1; in questa regione x-1>0, quindi nella terza possiamo moltiplicare per x-1 senza cambiare il verso:

\[ \frac{x}{x-1}<9 \;\Longleftrightarrow\; x<9(x-1) \;\Longleftrightarrow\; x<9x-9 \;\Longleftrightarrow\; 8x-9>0 \;\Longleftrightarrow\; x>\frac98. \]

La quarta disuguaglianza dà invece

\[ x-1>\frac{1}{\sqrt3} \;\Longleftrightarrow\; x>1+\frac{1}{\sqrt3}. \]

Raccogliendo tutte le condizioni,

\[ x>1,\qquad x>\frac98,\qquad x>1+\frac1{\sqrt3}, \]

e, poiché 1+\frac1{\sqrt3}> \frac{9}{8}>1, le condizioni sono tutte soddisfatte se e solo se

\[ x>1+\frac1{\sqrt3}. \]

Si conclude che la soluzione è

\[ \boxcolorato{superiori}{S=\left (1+\tfrac1{\sqrt3},+\infty \right ).} \]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere il seguente sistema di disequazioni nel campo dei numeri reali:

\[ \begin{cases} \displaystyle\bigl(\log_{3}x\bigr)^{2}<\dfrac{2}{\log_{3}x+1}\\[6pt] \displaystyle\dfrac{\log_{3}x-1}{\log_{3}(x-3)}\le 0. \end{cases} \]

Svolgimento.

Per prima cosa imponiamo l’esistenza dei logaritmi e dei denominatori:

\[ x>0,\qquad x\neq\frac13,\qquad x>3,\qquad x\neq4, \]

da cui il dominio complessivo del sistema è

\[ D=\{x\in\mathbb R:\;x>3,\;x\neq4\}. \]

Prima disuguaglianza. Poniamo t=\log_{3}x, così che x=3^{t} con t>1 (poiché x>3). La disequazione diventa

\[ t^{2}<\frac{2}{t+1}\qquad(t\neq-1), \]

ovvero

\[ t^{3}+t^{2}-2<0\;\;\Longleftrightarrow\;\;(t-1)\bigl(t^{2}+2t+2\bigr)<0. \]

Poiché il trinomio t^{2}+2t+2 è sempre positivo, il segno è determinato da t-1:

\[ (t-1)\bigl(t^{2}+2t+2\bigr)<0\;\;\Longleftrightarrow\;\;t<1. \]

Ma in D vale t>1; dunque la prima disuguaglianza non può essere soddisfatta per alcun x\in D.

Seconda disuguaglianza. Essendo la prima già impossibile in D, non occorre studiarne la soluzione: l’intersezione complessiva del sistema è vuota.

\[ \boxcolorato{superiori}{S=\emptyset. } \]


 
 

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