Sistemi con i logaritmi – Esercizio 5

Sistemi in Logaritmi

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Esercizio.  (\bigstar\bigstar\largewhitestar)
Risolvere il seguente sistema

    \[\begin{cases} 			\log_5 (y-x) -1 = 2 \log_5 y\\ 			2x = -5^{\log_5y} 			\end{cases}\]

 

Soluzione

Risolviamo

    \[\begin{aligned}  	& \begin{cases} \log_5 (y-x) -1 = 2 \log_5 y\\ 2x = -y 	\end{cases} \quad \Rightarrow \quad 	\begin{cases} 	\log_5 (y-x) -\log_5 5 = \log_5 y^2\\ 	y=-2x 	\end{cases} \quad \overset{\text{\small sostituzione}}{\Rightarrow} \quad  \\\\ 	& \quad \Rightarrow \quad  \begin{cases} 		\log_5 \dfrac{-3x}{5} = \log_5 (-2x)^2\\ 	y=-2x 	\end{cases}\quad \Rightarrow \quad  \begin{cases} 		\dfrac{-3x}{5} = 4x^2\\ y=-2x 	\end{cases}\quad \Rightarrow \quad \\\\ 	& \quad \Rightarrow \quad 	\begin{cases} 		x=0 \; \vee \; x=-\dfrac{3}{20}\\ 	y=-2x 	\end{cases} \end{aligned}\]

Quindi le soluzioni sono

    \[S: \left(0,0\right), \left(-\dfrac{3}{20}, \dfrac{3}{10}\right)\]

ma risulta accettabile solo la seconda poiché per le condizioni di esistenza abbiamo x<y e y>0, dunque

    \[\boxed{S: \left(-\dfrac{3}{20}, \dfrac{3}{10}\right)}\]


Fonte: Matematica.blu 3 – Zanichelli