Sistemi con i logaritmi – Esercizio 5

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Esercizio $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ .
Risolvere il seguente sistema

$\begin{cases} \log_5 (y-x) -1 = 2 \log_5 y\\ 2x = -5^{\log_5y}. \end{cases}$

Svolgimento.

Risolviamo

$\begin{aligned} & \begin{cases} \log_5 (y-x) -1 = 2 \log_5 y\\ 2x = -y \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \log_5 (y-x) -\log_5 5 = \log_5 y^2\\ y=-2x \end{cases} \quad \overset{\text{\small sostituzione}}{\Rightarrow} \quad \\\\ & \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \log_5 \dfrac{-3x}{5} = \log_5 (-2x)^2\\ y=-2x \end{cases}\quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \dfrac{-3x}{5} = 4x^2\\ y=-2x \end{cases}\quad \Rightarrow \quad \\\\ & \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x=0 \; \vee \; x=-\dfrac{3}{20}\\ y=-2x. \end{cases} \end{aligned}$