Sistemi con i logaritmi – Esercizio 5

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Esercizio. (\bigstar\bigstar\largewhitestar)
Risolvere il seguente sistema

    \[\begin{cases} \log_5 (y-x) -1 = 2 \log_5 y\\ 2x = -5^{\log_5y} \end{cases}\]

 

Soluzione

Risolviamo

    \[\begin{aligned} & \begin{cases} \log_5 (y-x) -1 = 2 \log_5 y\\ 2x = -y \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \log_5 (y-x) -\log_5 5 = \log_5 y^2\\ y=-2x \end{cases} \quad \overset{\text{\small sostituzione}}{\Rightarrow} \quad \\\\ & \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \log_5 \dfrac{-3x}{5} = \log_5 (-2x)^2\\ y=-2x \end{cases}\quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \dfrac{-3x}{5} = 4x^2\\ y=-2x \end{cases}\quad \Rightarrow \quad \\\\ & \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x=0 \; \vee \; x=-\dfrac{3}{20}\\ y=-2x \end{cases} \end{aligned}\]

Quindi le soluzioni sono

    \[S: \left(0,0\right), \left(-\dfrac{3}{20}, \dfrac{3}{10}\right)\]

ma risulta accettabile solo la seconda poiché per le condizioni di esistenza abbiamo x<y e y>0, dunque

    \[\boxed{S: \left(-\dfrac{3}{20}, \dfrac{3}{10}\right)}\]


Fonte: Matematica.blu 3 – Zanichelli