Sistemi con i logaritmi – Esercizio 4

Sistemi in Logaritmi

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Esercizio.  (\bigstar\bigstar\largewhitestar)
Risolvere il seguente sistema

    \[\begin{cases} 			\log_{xy} 12 = 1\\\\ 			2^{x-4} \cdot 3^{x-1} = \dfrac{6^y}{8} 			\end{cases}\]

 

Soluzione

Risolviamo

    \[\begin{aligned}  	& \begin{cases} 			\log_{xy} 12 = 1\\\\ 2^{x-4} \cdot 3^{x-1} = \dfrac{6^y}{8} 	\end{cases} \quad \Rightarrow \quad  	\begin{cases} xy=12\\\\ 2^{x}\cdot2^{-4} \cdot 3^{x} \cdot3^{-1} = \dfrac{6^y}{8} 	\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \\\\ 	& \quad \Rightarrow \quad  \begin{cases} xy=12\\\\ 6^{x}\cdot \dfrac{1}{16} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{6^y}{8} 	\end{cases}\quad \Rightarrow \quad  \begin{cases} xy=12\\\\ 6^{x}\cdot \dfrac{1}{6} = 6^y 	\end{cases}\quad \Rightarrow \quad \\\\ 	& \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} xy=12\\\\ 6^{x-1} = 6^y 	\end{cases} \quad \Rightarrow \quad  	\begin{cases} 		xy=12\\ 		x-1=y 	\end{cases}\quad \overset{\text{\small sostituzione}}{\Rightarrow} \quad  	\begin{cases} 	y(y+1)=12\\ x-1=y 	\end{cases}\quad \Rightarrow \quad \\\\ & \quad \Rightarrow \quad 	\begin{cases} 	y=-4 \; \vee \; y=3\\ 	x-1=y \end{cases} \end{aligned}\]

Quindi le soluzioni sono

    \[\boxed{S: \left(4,3\right), \left(-3,-4\right)}\]

che sono accettabile poiché le condizioni di esistenza impongono xy>0 e xy\neq1.


Fonte: Matematica.blu 3 – Zanichelli