Sistemi con i logaritmi – Esercizio 3

Sistemi in Logaritmi

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Esercizio.  (\bigstar\bigstar\largewhitestar) Risolvere il seguente sistema

    \[\begin{cases} 				4\log_2x - \log_2y^2=4\\ 				\log_2x + \log_2y=4 			\end{cases}\]

 

Soluzione

Risolviamo con il metodo di riduzione ottenendo

    \[\begin{aligned}  	& \begin{cases} 	4\log_2x - 2\log_2y=4\\ \log_2x + \log_2y=4 	\end{cases} \quad \Rightarrow \quad  	\begin{cases} 	3\log_2x-3\log_2y=0\\ \log_2x + \log_2y=4 	\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \\\\ 	& \quad \Rightarrow \quad  \begin{cases} 	\log_2x=\log_2y\\ \log_2x + \log_2y=4 	\end{cases}\quad \Rightarrow \quad  \begin{cases} 	x=y\\ \log_2x + \log_2x=4 	\end{cases}\quad \Rightarrow \quad \\\\ 	& \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 	x=y\\ 2\log_2x =4 	\end{cases} \quad \Rightarrow \quad  	\begin{cases} 	x=y\\ \log_2x =2 	\end{cases}\quad \Rightarrow \quad  	\begin{cases} 	x=4\\ x=4 	\end{cases} \end{aligned}\]

Quindi la soluzione è

    \[\boxed{S: \left(4,4\right)}\]

ed è accettabile poiché le condizioni di esistenza impongono x>0 e y>0.


Fonte: Matematica.blu 3 – Zanichelli