Sistemi con i logaritmi – Esercizio 2

Sistemi in Logaritmi

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)
Risolvere il seguente sistema

    \[\begin{cases} 				2\log_3x -y=1\\ 				\log_3x + 2y=4 			\end{cases}\]

 

Soluzione

Risolviamo

    \[\begin{aligned}  	& \begin{cases} 	2\log_3x -y=1\\ 	\log_3x + 2y=4 	\end{cases} \quad \Rightarrow \quad  	\begin{cases} 	\log_3x = \dfrac{1+y}{2}\\\\ 	\log_3 x = 4 - 2y 	\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \\\\ 	& \quad \Rightarrow \quad  \begin{cases} 		4-2y =  \dfrac{1+y}{2}\\\\ 		\log_3 x = 4 - 2y 	\end{cases}\quad \Rightarrow \quad  \begin{cases} 	y=\dfrac{7}{5}\\\\ 	\log_3 x = 4 - 2y 	\end{cases}\quad \Rightarrow \quad \\\\ & \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 	y=\dfrac{7}{5}\\\\ 	\log_3 x = \dfrac{6}{5} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad  \begin{cases} 	y=\dfrac{7}{5}\\\\ 	x = 3^\frac{6}{5} \end{cases}\quad \Rightarrow \quad  \begin{cases} y=\dfrac{7}{5}\\\\ x = 3\sqrt[5]{3} \end{cases} \end{aligned}\]

dove nell’ultimo passaggio abbiamo portato fuori radice. Quindi la soluzione è

    \[\boxed{S: \left(3\sqrt[5]{3},\dfrac{7}{5}\right)}\]

ed è accettabile poiché le condizioni di esistenza impongono x>0.


Fonte: Matematica.blu 3 – Zanichelli